En matemàtiques, l'aproximació de la fase estacionària és un principi bàsic de l'anàlisi asimptòtica, que s'aplica a funcions donades per integració contra una exponencial complexa que varia ràpidament.[1]
Aquest mètode té el seu origen al segle XIX i es deu a George Gabriel Stokes i Lord Kelvin. Està estretament relacionat amb el mètode de Laplace i el mètode del descens més pronunciat, però la contribució de Laplace precedeix les altres.[2]
Conceptes bàsics
La idea principal dels mètodes de fase estacionària es basa en la cancel·lació de sinusoides amb fases que varien ràpidament. Si molts sinusoides tenen la mateixa fase i se sumen, se sumaran constructivament. Tanmateix, si aquests mateixos sinusoides tenen fases que canvien ràpidament a mesura que canvia la freqüència, s'afegiran de manera incoherent, variant entre addició constructiva i destructiva en diferents moments.[3]
Fórmula
Sigui
el conjunt de punts crítics de la funció
(és a dir, punts on
), en el supòsit que
o té un suport compacte o té una decadència exponencial, i que tots els punts crítics són no degenerats (és a dir,
per
) tenim la següent fórmula asimptòtica, as
:
Aquí
denota l'hessià de
, i
denota la signatura de l'hessià, és a dir, el nombre d'autovalors positius menys el nombre d'autovalors negatius.
Per
, això es redueix a:
En aquest cas els supòsits sobre
reduir a tots els punts crítics no degenerats.
Aquesta és només la versió girada per Wick de la fórmula per al mètode de baixada més pronunciada.[4]
Un exemple
Considereu una funció
El terme de fase en aquesta funció,
, està estacionari quan
o equivalent,
Les solucions d'aquesta equació donen freqüències dominants
per a alguns
i
. Si ens ampliem
com una sèrie de Taylor sobre
i descuidar termes d'ordre superiors a
, tenim
on
denota la segona derivada de
. Quan
és relativament gran, fins i tot una petita diferència
generarà oscil·lacions ràpides dins de la integral, donant lloc a la cancel·lació. Per tant, podem estendre els límits d'integració més enllà del límit d'una expansió de Taylor. Si fem servir la fórmula,
Això s'integra com
Referències
- ↑ «11.3.2: The Stationary Phase Approximation» (en anglès), 17-10-2013. [Consulta: 25 febrer 2024].
- ↑ «[https://ocw.mit.edu/courses/18-238-geometry-and-quantum-field-theory-fall-2002/f1d64cdfe3b3f3b9846dfe8149b8eb47_sec2.pdf 4 MATHEMATICAL IDEAS AND NOTIONS OF QUANTUM FIELD THEORY 2. The steepest descent and stationary phase formulas]» (en anglès). [Consulta: 25 febrer 2024].
- ↑ «[https://www.phys.uconn.edu/~rozman/Courses/P2400_16S/downloads/stationary-phase.pdf Physics 2400 Spring 2016 Method of stationary phase]» (en anglès). [Consulta: 25 febrer 2024].
- ↑ «Group velocity and stationary phase approximation | Quantum Physics I | Physics» (en anglès). [Consulta: 25 febrer 2024].