Corba de Lévy
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/93/Corba_de_Levy.gif)
En matemàtiques, una corba de Lévy, a vegades anomenada corba C de Lévy per la seva forma, és una corba fractal descrita l'any 1906 per Ernesto Cesàro.[1] El 1910 el matemàtic Georg Faber en va descriure les propietats de diferenciabilitat,[2] i posteriorment Paul Lévy en va analitzar les propietats d'auto-similitud i va proporcionar una construcció geomètrica de la corba, mostrant-la com una corba representativa de la mateixa classe que la corba de Koch.[3] Es tracta d'un cas especial de corba de doble període, és a dir, una corba de Rham.[4]
En alguns casos també se l'anomena drac de Lévy i es considera dins de la família de corbes del drac.[5]
Construcció
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/L%C3%A9vy_C_curve_animation.svg/220px-L%C3%A9vy_C_curve_animation.svg.png)
La corba de Lévy és el límit del següent sistema de funcions iterades en el pla complex:[3]
amb el sistema de punts inicial .
La corba de Lévy es pot considerar una corba de Peano, en la qual cada segment és substituït per dos segments que formen un angle de 90°, de la següent manera:
Per tant, el perímetre tendeix a infinit, perquè augmenta de forma constant a cada iteració.
Alternativament, si s'interpreta com una variant del drac de Heighway, es pot obtenir una seqüència corresponent als girs de la corba de la següent manera, mantenint la simetria:
- Es comença amb un únic gir a l'esquerra, que es pot representar amb un
- El pas següent té la forma (anterior)valor(anterior), és a dir:
- El valor que es col·loca a la posició central segueix un cicle a-b-c-d on:
- a - seguir recte, per tant un angle de gir de 0°.
- b - girar a la dreta, per tant un angle de gir de 90°.
- c - tornar enrere, per tant un angle de gir de 180°.
- d - girar a l'esquerra, per tant un angle de gir de 270°.
Propietats
La dimensió fractal de la corba és 2, però l'any 1999 Duvall i Keesling en van estimar la dimensió de Hausdorff del límit del seu perímetre:[6]
- on s'obté de l'equació polinòmica .
Vegeu també
- Corba de Peano
- Corba del drac
- Arbre de Pitàgores
Referències
- ↑ Césaro, E. «Fonctions continues sans dérivée». Archiv der Math. und Phys., 10, 1906, pàg. 57-63.
- ↑ Faber, G. «Über stetige Funktionen II». Math Annalen, 69, 1910, pàg. 372-443.
- ↑ 3,0 3,1 Lévy, Paul. Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole. Classics on Fractals. Addison-Wesley Publishing, 1938. ISBN 0-201-58701-7.
- ↑ Kawamura, K. «On the classification of self-similar sets determined by two contractions on the plane». J. Math. Kyoto Univ., 42, 2, 2002, pàg. 260.
- ↑ Bailey, Scott; Kim, Theodore; Strichartz, Robert S. «Inside the Lévy dragon». The American Mathematical Monthly, 109, 8, 2002, pàg. 689–703. DOI: 10.2307/3072395. JSTOR: 3072395. MR: 1927621
- ↑ Duvall, P.; Keesling, J. «The Hausdorff dimension of the boundary of the Lévy Dragon». Dynamical Systems. DOI: 10.1090/conm/246/03776. arXiv: 9907145
Enllaços externs
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png)
- Larry Riddle, Agnes Scott College. «Lévy Dragon» [Consulta: 22 de març 2021]