En probabilitats i estadística les expressions distribució de probabilitat o llei de probabilitat tenen diversos sentits: per nombrosos autors, són sinònimes de Probabilitat, però molts altres autors les reserven per a les probabilitats a , . Però hi ha unanimitat en els termes llei o distribuciód'una variable aleatòria o vector aleatori per referir-se a la probabilitat sobre induïda per la variable aleatòria o vector aleatori. Atès que hi ha una correspondència bijectiva entre les probabilitats sobre i les funcions de distribució, es pot donar la distribució d'una variable aleatòria o vector mitjançant la seva funció de distribució; si bé això és interessant des del punt dels resultats generals, per a distribucions de variables o vectors concrets (normals, binomials, etc) les funcions de distribució són sovint feixugues d'utilitzar, i llavors és molt habitual fer servir la funció de densitat (cas absolutament continu), la funció de probabilitat (cas discret), la funció característica o alguna altra transformació que determini unívocament la distribució.
Definició 1
Molts autors [1][2] utilitzen distribució de probabilitat o llei de probabilitat per designar una probabilitat o mesura de probabilitat en un espai mesurable general , on és un conjunt arbitrari i és una família de subconjunts d' que té estructura de -àlgebra:
.
Si , llavors, , on designa el complementari del conjunt .
Si tenim una col·lecció numerable d'esdeveniments, , aleshores .
En aquest context, una distribució de probabilitat o llei de probabilitat és una aplicació que compleix
.
Per a qualsevol família numerable d'esdeveniments,, disjunts dos a dos: si , tenim
Per a molts autors, una distribució de probabilitat o llei de probabilitat és una probabilitat en un espai mesurable general .
Definició 2
Per a d'altres autors,[3]distribució de probabilitat o llei de probabilitat es reserva per a probabilitats sobre els nombres reals o sobre .
Per a d'altres autors, una distribució de probabilitat o llei de probabilitat és una probabilitat sobre l'espai mesurable on és la -àlgebra de Borel sobre , .
Observació sobre la terminologia: Habitualment, quan es parla de distribucions conegudes amb un nom específic, com en els exemples anteriors, en lloc de dir distribució de probabilitat normal o distribució de probabilitat binomial només es diu distribució normal o distribució binomial.
Distribucions singulars. Parts discreta i contínua d'una distribució de probabilitat a Rn
Recordem la nomenclatura estàndard de les mesures sobre :[4] una mesura es diu que és
discreta si existeix un conjunt finit o numerable tal que , on és el complementari del conjunt .
contínua si per a qualsevol .
singular (respecte la mesura de Lebesgue) si existeix un conjunt tal que i on és la mesura de Lebesgue a .
absolutament contínua (respecte la mesura de Lebesgue) si per qualsevol conjunt tal que , tenim que .
Quan és discreta (respectivament absolutament contínua) també es diu que és purament discreta (resp. purament absolutament contínua). Cal notar que les definicions de continuïtat i singularitat no són incompatibles, sinó que hi ha mesures alhora contínues i singulars; la distribució de Cantor n'és un exemple. Una mesura contínua i singular es diu que és purament contínua singular. Descomposició de mesures.[4][5] Existeixen tres mesures, discreta, contínua singular i absolutament contínua, tals queAquestes mesures són úniques. La mesura (respectivament i ) s'anomenen la part discreta (resp. part contínua singular i part absolutament contínua) de . La mesura s'anomena la part contínua de . Òbviament, aquestes mesures poden ser nul·les: per exemple, si és discreta, aleshores i . Finalment, d'acord amb el Teorema de Radon-Nikodym, si és -finita (en particular, si és finita), aleshores existeix una funció mesurable tal que La funció s'anomena la funció de densitat de . Adaptació a les distribucions de probabilitat. Totes aquestes definicions i propietats s'adapten directament al cas de les distribucions de probabilitat a . Així, per exemple, es diu que una distribució de probabilitat sobre és una distribució discreta si existeix un conjunt finit o numerable tal que . O que és una distribució singular (respecte la mesura de Lebesgue) si existeix un conjunt tal que i .
Funcions de distribució unidimensionals
Sigui una probabilitat sobre . La seva funció de distribució és la funció definida per: Té les següents propietats:[6]
(a) és una funció monòtona no decreixent (també es diu que és creixent): si aleshores .
Per posterior us, és convenient observar que, si , atès que
tenim que
Aquestes tres propietats donen lloc a una nova definició: una funció que compleixi (a), (b) i (c) es diu que és una funció de distribució.
Donada una funció de distribució podem construir una distribució de probabilitat a definint-la primer sobre els intervals de la forma : i estenent-la a tot [7] per les tècniques habituals de Teoria de la mesura (Teorema de Cararthéodory, etc.). Tenim
Equivalència entre distribucions de probabilitat a i funcions de distribució. Hi ha una correspondència bijectiva entre les distribucions de probabilitat a i les funcions de distribució.
Exemples
1.Distribució normal estàndard: La funció de distribució és És important assenyalar que aquesta integral no es pot expressar en termes de funcions elementals: polinomis,funcions racionals, funcions trigonomètriques, exponencials o logarítmiques.
Funcions de densitat, funcions de probabilitat, etc
Com hem vist als exemples, la manera més habitual de donar una probabilitat a és mitjançant una funció de densitat (cas absolutament continu) o una funció de probabilitat (cas discret). També utilitzar la funció característica o una altra transformació similar.
Distribució o llei d'una variable aleatòria
Sigui un espai de probabilitat i una variable aleatòria. La distribució de probabilitat de , o senzillament, distribució de , o llei de és la probabilitat a definida per La funció de distribució de s'anomena la funció de distribució de, i ve donada per
Funció de distribució d'una variable aleatòria. Donada una variable aleatòria , la seva funció de distribució és la funció definida per
Ens podem preguntar si, donada una distribució concreta (per exemple, normal, o binomial), la frase <<Sigui una variable aleatòria amb funció de distribució >> sempre és correcta, és a dir, si sempre existeix una variable aleatòria amb la distribució demanada. La resposta és afirmativa:[8]
Donada una funció de distribució , existeix un espai de probabilitat i una variable aleatòria tal que la seva funció de distribució és .
Prova
Tal com hem dit, la funció de distribució determina una probabilitat en . Escrivim i sigui la variable aleatòria Aleshores, la funció de distribució de , que designarem per , és:
Igualtat en distribució de variables aleatòries
Considerem dues variables aleatòries i , que poden estar definides en espais de probabilitat diferents, i designem per i les seves distribucions. Es diu que i son iguals en distribució o en llei si . En aquest cas, s'escriu Evidentment, si i són les funcions de distribució corresponents, aquesta propietat és equivalent a .
Exemples
Juguem amb un dau perfecte i considerem la variable que val 1 si surt parell i 0 si surt senar .Tirem una moneda perfecta i sigui i la variable que pren el valor 1 si surt cara i 0 si surt creu. Ambdues variables estan definides en espais de probabilitat diferents però són iguals en llei.
Dues variables poden estar definides en el mateix espai de probabilitat i ser iguals en llei, però ser distintes com aplicacions. Per exemple, tirem dos daus i representa el resultat del primer dau i el del segon, aleshores ambdues variables són iguals en llei, però si surt 1 al primer dau i 2 al segon dau,
Igualtat quasi segura de variables aleatòries
Es diu que dues variables aleatòries (definides en el mateix espai de probabilitat) són iguals quasi segurament o iguals amb probabilitat 1 si . S'escriu
Si dues variables són iguals quasi segurament, aleshores són iguals en llei. El recíproc no és cert, tal com mostra l'exemple 2 de l'apartat anterior.
Prova
Siguin i designem per i les seves funcions de distribució. Aleshores, atès que l'esdeveniment té probabilitat 1,
Convergència en llei o distribució de variables aleatòries
Considerem una successió de variables aleatòries i sigui una altra variable aleatòria, amb funcions de distribució i respectivament. Es diu que la successió convergeix en distribució o llei a si Un cas especialment important de convergència en llei és el Teorema central del límit.
Extensió a Rn
Considerem una probabilitat a . La seva funció de distribució és la funció definida per
Per estudiar les seves propietats necessitem les següents notacions: Escriurem els elements de en negretes; donats i direm que , si Per ,
Figura 1. Descomposició d'un interval bidimensional
definim Per exemple, si , ,
Per , amb , , amb , Vegeu la Figura 1.
Prova
Descomponem el conjunt de la següent manera: Però els conjunts de la dreta no són disjunts dos a dos, sinó que Aplicant la fórmula de la probabilitat de la unió de tres conjunts tenim d'on resulta la fórmula (*).
Retornant al cas general, tenim on
Propietats de la funció de distribució n-dimensional
La funció té les següents propietats:[9]
(a) Per a qualsevol parell tenim que
(b) És contínua per la dreta: per qualsevol
(c) i
Com en el cas unidimensional, aquestes propietats donen lloc a una nova definició: Una funció que compleixi (a), (b) i (c) es diu que és una funció de distribució-dimensional. A partir d'una d'aquestes funcions pot definir-se una probabilitat a mitjançant Llavors tenim una correspondència bijectiva entre les probabilitats a i les funcions de distribució -dimensionals.
Distribució o llei d'un vector aleatori
S'anomena distribució o llei d'un vector aleatori a la probabilitat sobre induïda per ell :
La funció de distribució de és la funció definida per
on, com és habitual amb els vectors aleatoris, les comes s'interpreten com interseccions: Les definicions de igualtat en distribució i igualtat quasi segura de vectors aleatoris són iguals a les de variables aleatòries.
També tenim que donada una funció de distribució -dimensional , existeix un espai de probabilitat i un vector aleatori tal que la seva funció de distribució és .[10]
Referències
↑Bertsekas, Dimitri P.; Tsitsiklis, John N. Introduction to probability. 2a edició. Belmont, Mass.: Athena Scientific, 2008, p. 6. ISBN 978-1-886529-23-6.
↑DeGroot, Morris H. Probabilidad y estadística. 2a. ed. Wilmington, Delawere, E.U.A.: Addison-Wesley Iberoamericaca, 1988, p. 13. ISBN 0-201-64405-3.
↑Sato, Ken-iti. Lévy processes and infinitely divisible distributions. Cambridge, U.K.: Cambridge University Press, 1999, p. 2. ISBN 0-521-55302-4.
↑ 4,04,1Sato, Ken-iti; 佐藤, 健一. Lévy processes and infinitely divisible distributions. Cambridge, U.K.: Cambridge University Press, 1999, p. 174. ISBN 0-521-55302-4.
↑Cuppens, Roger. Decomposition of multivariate probabilities. Nova York: Academic Press, 1975, p. 9. ISBN 0-12-199450-3.
↑Sanz, Marta. Probabilitats. Barcelona: Edicions Universitat de Barcelona, 1999, pp. 43-47. ISBN 84-8338-091-9.. Les demostracions estan fetes utilitzant variables aleatòries, però els arguments es traslladen directament al cas que estem tractant
↑Sanz, Marta. Probabilitats. Barcelona: Edicions Universitat de Barcelona, 1999, p. 47. ISBN 84-8338-091-9.
↑Hoffmann-Jørgensen, J. Probability with a view toward statistics. New York, NY: Chapman & Hall, 1994, p. 110. ISBN 0-412-05221-0.
↑Sanz, Marta. Probabilitats. Barcelona: Edicions Universitat de Barcelona, 1999, pp. 66-68. ISBN 84-8338-091-9.
↑Hoffmann-Jørgensen, J. Probability with a view toward statistics. New York, NY: Chapman & Hall, 1994, p. 111. ISBN 0-412-05221-0.
Bibliografia
Johnson, N. L.; Kotz, S.; Kemp, A. W.. Univariate discrete distributions.. 2nd ed.. New York: Wiley, 1992. ISBN 0-471-54897-9.