Distribució de probabilitat envoltada

En la teoria de la probabilitat i l'estadística direccional, una distribució de probabilitat envoltada és una distribució de probabilitat contínua que descriu els punts de dades que es troben en una unitat n-esfera. En una dimensió, una distribució envoltada consta de punts del cercle unitari. Si ${\displaystyle \phi }$ és una variació aleatòria en l'interval ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ amb funció de densitat de probabilitat (PDF) ${\displaystyle p(\phi )}$, llavors ${\displaystyle z=e^{i\phi }}$ és una variable circular distribuïda segons la distribució envoltada ${\displaystyle p_{wz}(\theta )}$ i ${\displaystyle \theta =\arg(z)}$ és una variable angular a l'interval ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$ distribuït segons la distribució embolicada ${\displaystyle p_{w}(\theta )}$.^[1]

Qualsevol funció de densitat de probabilitat ${\displaystyle p(\phi )}$ a la línia es pot "embolicar" al voltant de la circumferència d'un cercle de radi unitat.^[2] És a dir, el PDF de la variable embolicada

${\displaystyle \theta =\phi \mod 2\pi }$ en algun interval de longitud ${\displaystyle 2\pi }$

és

${\displaystyle p_{w}(\theta )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{p(\theta +2\pi k)}}$

que és una suma periòdica de períodes ${\displaystyle 2\pi }$. L'interval preferit és generalment ${\displaystyle (-\pi <\theta \leq \pi )}$ per quin ${\displaystyle \ln(e^{i\theta })=\arg(e^{i\theta })=\theta }$.^[3]

En la majoria de les situacions, un procés que implica estadística circular produeix angles (${\displaystyle \phi }$) que es troben a l'interval ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$, i es descriuen per una funció de densitat de probabilitat "desembolicada" ${\displaystyle p(\phi )}$. Tanmateix, una mesura donarà un angle ${\displaystyle \theta }$ que es troba en algun interval de longitud ${\displaystyle 2\pi }$ (per exemple, 0 a ${\displaystyle 2\pi }$). En altres paraules, una mesura no pot dir si l'angle real ${\displaystyle \phi }$ o un angle embolicat ${\displaystyle \theta =\phi +2\pi a}$, on ${\displaystyle a}$ és un nombre enter desconegut, s'ha mesurat.^[4]

Si volem calcular el valor esperat d'alguna funció de l'angle mesurat serà:

${\displaystyle \langle f(\theta )\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }p(\phi )f(\phi +2\pi a)d\phi }$

Podem expressar la integral com una suma d'integrals en períodes de ${\displaystyle 2\pi }$:

${\displaystyle \langle f(\theta )\rangle =\sum _{k=-\infty }^{\infty }\int _{2\pi k}^{2\pi (k+1)}p(\phi )f(\phi +2\pi a)d\phi }$

Canviar la variable d'integració a ${\displaystyle \theta '=\phi -2\pi k}$ i intercanviant l'ordre d'integració i suma, tenim

${\displaystyle \langle f(\theta )\rangle =\int _{0}^{2\pi }p_{w}(\theta ')f(\theta '+2\pi a')d\theta '}$

on ${\displaystyle p_{w}(\theta ')}$ és el PDF de la distribució embolicada i ${\displaystyle a'}$ és un altre nombre enter desconegut ${\displaystyle (a'=a+k)}$. El nombre enter desconegut ${\displaystyle a'}$ introdueix una ambigüitat en el valor esperat de ${\displaystyle f(\theta )}$, similar al problema de calcular la mitjana angular. Això es pot resoldre introduint el paràmetre ${\displaystyle z=e^{i\theta }}$, ja que ${\displaystyle z}$ té una relació inequívoca amb l'angle real ${\displaystyle \phi }$ :

${\displaystyle z=e^{i\theta }=e^{i\phi }}$

Una distribució embolicada fonamental és la pinta de Dirac, que és una funció delta de Dirac embolicada:

${\displaystyle \Delta _{2\pi }(\theta )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\delta (\theta +2\pi k)}}$

Utilitzant la funció delta, es pot escriure una distribució embolicada general

${\displaystyle p_{w}(\theta )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }p(\theta ')\delta (\theta -\theta '+2\pi k)\,d\theta '}$