Equació de Grad-Shafranov

En magnetohidrodinàmica, l'equació de Grad-Shafranov (H. Grad i H. Rubin (1958); Vitalii Dmitrievich Shafranov (1966)) és l'equació d’equilibri ideal per a un plasma bidimensional, per exemple el plasma toroidal simètric a l'eix en un tokamak. Aquesta equació adopta la mateixa forma que l'equació de Hicks des de la dinàmica de fluids.^[1]  Aquesta equació és una equació el·líptica en derivades parcials bidimensional i no lineal obtinguda de la reducció de les equacions ideals de la magnetohidrodinàmica a dues dimensions, sovint per al cas de toroïdals simètrics a l'eix (com per exemple, en un tokamak).

Si prenem ${\displaystyle (r,\theta ,z)}$ com a coordenades cilíndriques, la funció de flux ${\displaystyle \psi }$ es regeix per l'equació

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=-\mu _{0}r^{2}{\frac {dp}{d\psi }}-{\frac {1}{2}}{\frac {dF^{2}}{d\psi }},}$

on ${\displaystyle \mu _{0}}$ és la permeabilitat magnètica, ${\displaystyle p(\psi )}$ és la pressió, ${\displaystyle F(\psi )=rB_{\phi }}$, i el camp magnètic i el corrent són, respectivament, donats per

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {B}}&={\frac {1}{r}}\nabla \psi \times {\hat {e}}_{\theta }+{\frac {F}{r}}{\hat {e}}_{\theta },\\\mu _{0}{\vec {J}}&={\frac {1}{r}}{\frac {dF}{d\psi }}\nabla \psi \times {\hat {e}}_{\theta }-\left[{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}\right]{\hat {e}}_{\theta }.\end{aligned}}}$

La naturalesa de l'equilibri, ja sigui un tokamak, un tros de camp invertit, etc. està determinada en gran manera per les eleccions de les dues funcions ${\displaystyle F(\psi )}$ i ${\displaystyle p(\psi )}$ així com les condicions límit.

A continuació, se suposa que el sistema és bidimensional amb ${\displaystyle z}$ com a eix invariant, és a dir ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}=0}$ per a totes les quantitats. Llavors, el camp magnètic es pot escriure en coordenades cartesianes com

${\displaystyle \mathbf {B} =\left({\frac {\partial A}{\partial y}},-{\frac {\partial A}{\partial x}},B_{z}(x,y)\right),}$

o de manera més compacta,

${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla A\times {\hat {\mathbf {z} }}+B_{z}{\hat {\mathbf {z} }},}$

on ${\displaystyle A(x,y){\hat {\mathbf {z} }}}$ és el potencial vectorial del camp magnètic en el pla (components x i y). Tingueu en compte que, basant-nos en aquesta forma de B podem veure que A és constant al llarg de qualsevol línia de camp magnètic donat, ja que ${\displaystyle \nabla A}$ és perpendicular a B arreu (tingueu en compte també que -A és la funció de flux ${\displaystyle \psi }$ esmentat més amunt).

Les estructures magnètiques estacionàries i bidimensionals es descriuen pel balanç de forces de pressió i forces magnètiques, és a dir:

${\displaystyle \nabla p=\mathbf {j} \times \mathbf {B} ,}$

on p és la pressió del plasma i j és el corrent elèctric. Se sap que p és una constant al llarg de qualsevol línia de camp (de nou, des de ${\displaystyle \nabla p}$ és perpendicular a B). A més, el supòsit bidimensional (${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}=0}$) significa que el component z del costat esquerre ha de ser zero, de manera que el component z de la força magnètica del costat dret també ha de ser zero. Això significa que ${\displaystyle \mathbf {j} _{\perp }\times \mathbf {B} _{\perp }=0}$, és a dir, ${\displaystyle \mathbf {j} _{\perp }}$és paral·lel a ${\displaystyle \mathbf {B} _{\perp }}$.

El costat dret de l'equació anterior es pot considerar en dues parts:

${\displaystyle \mathbf {j} \times \mathbf {B} =j_{z}({\hat {\mathbf {z} }}\times \mathbf {B_{\perp }} )+\mathbf {j_{\perp }} \times {\hat {\mathbf {z} }}B_{z},}$

on el índex ${\displaystyle \perp }$ indica el component en el pla perpendicular a l'eix ${\displaystyle z}$. El component ${\displaystyle z}$ del corrent de l'equació anterior es pot escriure en termes del potencial vectorial unidimensional com

${\displaystyle j_{z}=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\nabla ^{2}A.}$.

El camp en el pla és

${\displaystyle \mathbf {B} _{\perp }=\nabla A\times {\hat {\mathbf {z} }}}$,

i utilitzant l'equació de Maxwell-Ampère, el corrent en el pla ve donat per

${\displaystyle \mathbf {j} _{\perp }={\frac {1}{\mu _{0}}}\nabla B_{z}\times {\hat {\mathbf {z} }}}$.

Per tal que aquest vector sigui paral·lel a ${\displaystyle \mathbf {B} _{\perp }}$ segons sigui necessari, el vector ${\displaystyle \nabla B_{z}}$ ha de ser perpendicular a ${\displaystyle \mathbf {B} _{\perp }}$, i ${\displaystyle B_{z}}$ té que ser, com ${\displaystyle p}$, un invariant de línia de camp.

Reorganitzant els productes creuats anteriors condueix a

${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}\times \mathbf {B} _{\perp }=\nabla A-(\mathbf {\hat {z}} \cdot \nabla A)\mathbf {\hat {z}} =\nabla A}$,

i

${\displaystyle \mathbf {j} _{\perp }\times B_{z}\mathbf {\hat {z}} ={\frac {B_{z}}{\mu _{0}}}(\mathbf {\hat {z}} \cdot \nabla B_{z})\mathbf {\hat {z}} -{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{z}\nabla B_{z}=-{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{z}\nabla B_{z}.}$

Aquests resultats es poden substituir per l'expressió de ${\displaystyle \nabla p}$ per a donar:

${\displaystyle \nabla p=-\left[{\frac {1}{\mu _{0}}}\nabla ^{2}A\right]\nabla A-{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{z}\nabla B_{z}.}$

A partir que ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle B_{z}}$ són constants al llarg d'una línia de camp i només tenen funcions d'${\displaystyle A}$, llavors ${\displaystyle \nabla p={\frac {dp}{dA}}\nabla A}$ i ${\displaystyle \nabla B_{z}={\frac {dB_{z}}{dA}}\nabla A}$. D’aquesta manera, es factoritza ${\displaystyle \nabla A}$ i la reordenació dels termes produeix l'equació de Grad-Shafranov:

${\displaystyle \nabla ^{2}A=-\mu _{0}{\frac {d}{dA}}\left(p+{\frac {B_{z}^{2}}{2\mu _{0}}}\right).}$

• Grad, H., and Rubin, H. (1958) Hydromagnetic Equilibria and Force-Free Fields Arxivat 2023-06-21 a Wayback Machine.. Proceedings of the 2nd UN Conf. on the Peaceful Uses of Atomic Energy, Vol. 31, Geneva: IAEA p. 190.
• Shafranov, V.D. (1966) Plasma equilibrium in a magnetic field, Reviews of Plasma Physics, Vol. 2, New York: Consultants Bureau, p. 103.
• Woods, Leslie C. (2004) Physics of plasmas, Weinheim: WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, chapter 2.5.4
• Haverkort, J.W. (2009) Axisymmetric Ideal MHD Tokamak Equilibria Arxivat 2014-10-26 a Wayback Machine.. Notes about the Grad–Shafranov equation, selected aspects of the equation and its analytical solutions.
• Haverkort, J.W. (2009) Axisymmetric Ideal MHD equilibria with Toroidal Flow Arxivat 2014-10-26 a Wayback Machine.. Incorporation of toroidal flow, relation to kinetic and two-fluid models, and discussion of specific analytical solutions.