Equació en integrodiferència

En matemàtiques, una equació en integrodiferència és una relació de recurrència en un espai funcional, de la forma següent:

${\displaystyle n_{t+1}(x)=\int _{\Omega }k(x,y)\,f(n_{t}(y))\,dy,}$

on ${\displaystyle \{n_{t}\}\,}$ és una seqüència a l'espai funcional i ${\displaystyle \Omega \,}$ és el domini d'aquestes funcions. En la majoria d'aplicacions, per a qualsevol ${\displaystyle y\in \Omega \,}$, ${\displaystyle k(x,y)\,}$és una funció de densitat de probabilitat sobre ${\displaystyle \Omega \,}$. S'ha de tenir en compte que a la definició anterior, ${\displaystyle n_{t}}$ es pot valorar el vector, en aquest cas cada element de ${\displaystyle \{n_{t}\}}$ té associada una equació en integrodiferència valorada amb ell.

Les equacions en integrodiferència s'utilitzen àmpliament en biologia matemàtica, especialment en ecologia teòrica, per modelar la dispersió i el creixement de les poblacions. En aquest cas, ${\displaystyle n_{t}(x)}$ és la mida o la densitat de població al lloc ${\displaystyle x}$ en el temps ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle f(n_{t}(x))}$ descriu el creixement de la població local al lloc ${\displaystyle x}$, i ${\displaystyle k(x,y)}$ és la probabilitat de moure's des del punt ${\displaystyle y}$ cap al punt ${\displaystyle x}$, sovint anomenat nucli de dispersió. Les equacions en integrodiferència s'utilitzen més comunament per descriure poblacions univoltines, incloses, entre d'altres, molts artròpodes i espècies de plantes anuals. Tot i això, les poblacions multivoltines també es poden modelar amb equacions en integrodiferència,^[1] sempre que l'organisme tingui generacions que no es superposin. En aquest cas, ${\displaystyle t}$ no es mesura en anys, sinó l'increment temporal entre les cries.

En una dimensió espacial, el nucli de dispersió sovint depèn només de la distància entre la font i la destinació, i es pot escriure com ${\displaystyle k(x-y)}$. En aquest cas, algunes condicions naturals de ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle k}$ impliquen que hi ha una velocitat de difusió ben definida per a les ones d'invasió generades a partir de condicions inicials compactes. La velocitat d'ona es calcula sovint estudiant l'equació linealitzada

${\displaystyle n_{t+1}=\int _{-\infty }^{\infty }k(x-y)Rn_{t}(y)dy}$

on ${\displaystyle R=df/dn(n=0)}$. Això es pot escriure com a convolució

${\displaystyle n_{t+1}=f'(0)k*n_{t}}$

Utilitzant una transformació de la funció generadora de moments

${\displaystyle M(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{sx}n(x)dx}$

s'ha demostrat que la velocitat d'ona crítica

${\displaystyle c^{*}=\min _{w>0}\left[{\frac {1}{w}}\ln \left(R\int _{-\infty }^{\infty }k(s)e^{ws}ds\right)\right]}$

Altres tipus d'equacions que s'utilitzen per modelar la dinàmica de la població a través de l'espai inclouen equacions de reacció-difusió i equacions de metapoblació. Tot i això, les equacions de difusió no permeten incloure patrons de dispersió explícits i només són biològicament precisos per a poblacions amb generacions superposades.^[2] Les equacions de metapoblació són diferents de les equacions en integrodiferència en el fet que descomponen la població en taques discretes en lloc d'un paisatge continu.