Equicontinuïtat

En anàlisi matemàtica, una família de funcions és equicontínua si totes les funcions són contínues i tenen una variació equivalent sobre un veïnat donat, en un sentit precís descrit. Concretament, aquest concepte s'aplica a famílies comptables, i, per tant, seqüències de funcions.[1]

Explicació de l'equicontinuïtat

Siguin ( X , T ) {\displaystyle (X,{\mathcal {T}})\,} espai topològic, ( Y , d ) {\displaystyle (Y,d)\,} espai mètric, i x 0 {\displaystyle x_{0}} un punt a X {\displaystyle X} . Un conjunt H {\displaystyle H} de funcions de X {\displaystyle X} a Y {\displaystyle Y} es diu equicontinu a x 0 {\displaystyle x_{0}} si i només si per a tot r > 0 , ∃ A {\displaystyle r>0,\exists A} entorn de x 0 {\displaystyle x_{0}} tal que ∀ f ∈ H , f ( A ) ⊆ B ( f ( x o ) , r ) {\displaystyle \forall f\in H,f(A)\subseteq B(f(x_{o}),r)}

En particular, si H {\displaystyle H} és equicontinu a x 0 {\displaystyle x_{0}} , aleshores totes les funcions que pertanyen a H {\displaystyle H} són contínues a x 0 {\displaystyle x_{0}} .

Direm que H {\displaystyle H} és equicontínua si ho és per a tot x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} .

Exemples

  1. Si H {\displaystyle H} és una família finita de funcions contínues, aleshores és equicontínua.
  2. Si ( X , T ) {\displaystyle (X,{\mathcal {T}})\,} és mètric i totes les funcions de H {\displaystyle H} són Lipschitz contínues amb una mateixa constant K {\displaystyle K} , aleshores H {\displaystyle H} és equicontínua.
  3. Sigui ( X , d ) {\displaystyle (X,d)\,} espai mètric compacte, si { f n } {\displaystyle \{f_{n}\}} és una successió de funcions contínues de K {\displaystyle K} a R {\displaystyle \mathbb {R} } uniformement convergent, aleshores { f n } {\displaystyle \{f_{n}\}} és equicontínua.
  4. Si X , Y ⊆ R {\displaystyle X,Y\subseteq \mathbb {R} } , totes les funcions de H {\displaystyle H} són derivables, i existeix una constant L > 0 {\displaystyle L>0} tal que ∀ f ∈ H , ∀ x ∈ X , | f ′ ( x ) | < L {\displaystyle \forall f\in H,\forall x\in X,|f'(x)|<L} , aleshores es compleix que totes les funcions de H {\displaystyle H} són Lipschitz contínues de constant L {\displaystyle L} , i, per tant, H {\displaystyle H} és equicontinu.

Aquesta última propietat és una de les més utilitzades per verificar l'equicontinuitat d'una família de funcions.[2][3]

Referències

  1. ↑ Springer. [Equicontinuïtat, p. 238, a Google Books General Topology] (en anglès), 1975, p. 238. .
  2. ↑ Alan F. Beardon, S. Axler, F.W. Gehring, K.A. Ribet : Iteration of Rational Functions: Complex Analytic Dynamical Systems. Springer, 2000; ISBN 0-387-95151-2, ISBN 978-0-387-95151-5; page 49
  3. ↑ Joseph H. Silverman : The arithmetic of dynamical systems. Springer, 2007. ISBN 0-387-69903-1, ISBN 978-0-387-69903-5; page 22

Bibliografia

  • Michiel Hazewinkel (ed.). Equicontinuity. Encyclopedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
  • Reed, Michael & Simon, Barry (1980), Functional Analysis (revised and enlarged ed.), Boston, MA: Academic Press, ISBN 978-0-12-585050-6.
  • Rudin, Walter (1987), Real and Complex Analysis (3rd ed.), Nova York: McGraw-Hill.
  • Schaefer, Helmuth H. (1966), Topological vector spaces, New York: The Macmillan Company