Extensió d'Alexandroff

En el camp matemàtic de la topologia, l'extensió d'Alexandroff és una forma d'estendre un espai topològic no compacte mitjançant l'addició d'un sol punt, donant com a resultat un espai compacte. Aquest concepte rep el nom del matemàtic rus Pavel Alexàndrov.

Més en concret, sigui X un espai topològic. Es defineix l'extensió d'Alexandroff de X com un cert espai compacte X* juntament amb un embedding obert c: X → X* tal que el complement de X dins X* consisteix d'un sol punt, denotat habitualment per ∞. L'aplicació c és una compactificació Hausdorff si i només si X és un espai de Hausdorff no compacte, però localment compacte. Per a aquest tipus d'espais, hom diu que l'extensió d'Alexandroff és la compactificació d'Alexandroff o la compactificació d'un punt. Els avantatges de la compactificació d'Alexandroff rauen en la seva estructura simple i, sovint, geomètricament significativa, i en el fet que és la mínima compactificació entre totes les possibles; per altra banda, el desavantatge és que només proporciona una compactificació Hausdorff sobre la classe d'espais Hausdorff no compactes i alhora localment compactes, al contrari que la compactificació de Stone-Čech, que existeix per a qualsevol espai de Tychonoff, una classe molt més àmplia d'espais.

Un exemple geomètric de la compactificació d'Alexandroff ve donat per la projecció estereogràfica inversa. Recodem que la projecció estereogràfica S proporciona un homeomorfisme explícit des de l'esfera unitat menys el pol nord (0,0,1) sobre el pla euclidià. La projecció estereogràfica inversa ${\displaystyle S^{-1}:\mathbb {R} ^{2}\hookrightarrow S^{2}}$ és un embedding dens i obert dins d'un espai Hausdorff compacte, que s'obté mitjançant l'addició del punt addicional ${\displaystyle \infty =(0,0,1)}$. Aplicant la projecció estereogràfica, els cercles latitudinals ${\displaystyle z=c}$ s'envien a circumferències planars ${\displaystyle r={\sqrt {(1+c)/(1-c)}}}$. D'aquí, es té que la base d'entorns perforats de ${\displaystyle (1,0,0)}$ donada pels casquets esfèrics perforats ${\displaystyle c\leq z<1}$ correspon als complements dels discs planars tancats ${\displaystyle r\geq {\sqrt {(1+c)/(1-c)}}}$. Des d'un punt de vista qualitatiu, una base d'entorns al punt ${\displaystyle \infty }$ ve donada pels conjunts ${\displaystyle S^{-1}(\mathbb {R} ^{2}\setminus K)\cup \{\infty \}}$, on K recorre els subconjunts compactes de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Aquest exemple, encara que és un cas particular, conté els conceptes clau per al cas general.

Sigui ${\displaystyle c:X\hookrightarrow Y}$ un embedding d'un espai topològic X dintre d'un espai topològic Hausdorff compacte Y, amb imatge densa i un residu compost per un sol punt ${\displaystyle \{\infty \}=Y\setminus c(X)}$. Llavors c(X) és un conjunt obert dins d'un espai Hausdorff compacte, i per tant és localment compacte Hausdorff; d'on la seva imatge homeomorfa X també és localment compacta Hausdorff. Addicionalment, si X fos compacte, llavors c(X) seria tancat a Y, i per tant no seria dens. Així, un espai només pot admetre una compactificació d'Alexandroff si és localment compacte, no compacte, i Hausdorff. Encara més, en una tal compactificació d'Alexandroff, la imatge d'una base d'entorns de x a X proporciona una base d'entorns per de c(x) dins c(X), i –com que un subconjunt d'un espai Hausdorff compacte és compacte si i només si és tancat– els entorns oberts de ${\displaystyle \infty }$ han de ser tots conjunts obtinguts per adjunció de ${\displaystyle \infty }$ a la imatge per c d'un subconjunt de X amb complement compacte.

Sigui X un espai topològic qualsevol, i sigui ${\displaystyle \infty }$ qualsevol objecte que no sigui un element de X. Escrivim ${\displaystyle X^{*}=X\cup \{\infty \}}$, i fixem una topologia a ${\displaystyle X^{*}}$ on els conjunts oberts siguin tots els subconjunts oberts U de X juntament amb tots els subconjunts V que contenen ${\displaystyle \infty }$ i tals que ${\displaystyle X\setminus V}$ és tancat i compacte (Kelley 1975, p. 150).

Hom diu que la inclusió ${\displaystyle c:X\rightarrow X^{*}}$ és l'extensió d'Alexandroff de X (Willard 1970, 19A).

Hom pot observar les següents propietats:

• L'aplicació c és contínua i oberta: submergeix X com a subconjunt obert de ${\displaystyle X^{*}}$.
• L'espai ${\displaystyle X^{*}}$ és compacte.
• La imatge c(X) és densa a ${\displaystyle X^{*}}$, si X no és compacte.
• L'espai ${\displaystyle X^{*}}$ és Hausdorff si i només si X és Hausdorff i localment compacte.

En particular, l'extensió d'Alexandroff ${\displaystyle c:X\rightarrow X^{*}}$ és una compactificació de X si i només si X és Hausdorff, no compacte i localment compacte. En aquest cas, hom l'anomena compactificació d'Alexandroff o compactificació d'un punt de X. Recordem pel que hem vist abans que qualsevol compactificació amb un residu format per un punt és necessàriament (isomorfa a) la compactificació d'Alexandroff.

Sigui X un espai de Tychonoff qualsevol. Amb l'ordre parcial natural definit sobre el conjunt ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$ de classes d'equivalència de compactificacions, qualsevol element mínim és equivalent a l'extensió d'Alexandroff (Engelking 1989, Teorema 3.5.12). Una conseqüència és que un espau no compacte de Tychonoff admet una compactificació mínima si i només si és localment compacte.

• La compactificació d'Alexandroff del conjunt d'enters positius és homeomorfa a l'espai K = {0} U {1/n | n és un enter positiu} amb la topologia de l'ordre.
• La compactificació d'Alexandroff de l'espai euclidià n-dimensioanl Rⁿ és homeomorfa a la n-esfera Sⁿ. Com abans, l'aplicació es pot construir de forma explícita con una projecció estereogràfica inversa n-dimensional.
• Com que la clausura d'un subconjunt connex és connexa, l'extensió d'Alexandroff d'un espai connex no compacte és connexa. Tot i això, la compactificació d'Alexandroff pot fer que un espai no connex esdevingui connex: per exemple, la compactificació d'Alexandroff de la unió disjunta de ${\displaystyle \kappa }$ còpies de l'interval (0,1) rosa de ${\displaystyle \kappa }$ circumferències ((anglès) Bouquet of circles).
• Hom pot interpretar l'extensió d'Alexandroff com un functor des de la categoria d'espais topològics amb aplicacions contínues pròpies com a morfismes, cap a la categoria els objectes de la qual són aplicacions contínues ${\displaystyle c:X\rightarrow Y}$ i per a la qual els morfismes de ${\displaystyle c_{1}:X_{1}\rightarrow Y_{1}}$ a ${\displaystyle c_{2}:X_{2}\rightarrow Y_{2}}$ són parells d'aplicacions contínues ${\displaystyle f_{X}:X_{1}\rightarrow X_{2},\ f_{Y}:Y_{1}\rightarrow Y_{2}}$ tals que ${\displaystyle f_{Y}\circ c_{1}=c_{2}\circ f_{X}}$. En particular, els espais homeomorfs tenen extensions d'Alexandroff isomorfes.
• Una successió ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ en un espai topològic ${\displaystyle X}$ convergeix cap a un punt ${\displaystyle a}$ de ${\displaystyle X}$, si i només si l'aplicació ${\displaystyle f\colon \mathbb {N} ^{*}\to X}$ donada per ${\displaystyle f(n)=a_{n}}$ amb ${\displaystyle n}$ de ${\displaystyle \mathbb {N} }$ i ${\displaystyle f(\infty )=a}$ és contínua. Aquí, ${\displaystyle \mathbb {N} }$ té la topologia discreta.
• Els espais poliàdics estan definits com a espais topològics que són la imatge contínua de la potència d'una compactificació d'Alexandroff d'un espai Hausdorff discret i localment compacte.
• L'espai de funcions contínues ${\displaystyle C\left(\Omega \right)}$ sobre un espai Hausdorff localment compacte ${\displaystyle \Omega }$ és localment compacte, però es pot fer compacte si i només si s'hi inclou el punt ${\displaystyle f(x)=1}$ per a tot ${\displaystyle x}$.

• Alexandroff, Pavel S. «Über die Metrisation der im Kleinen kompakten topologischen Räume». Math. Ann., 92, 3-4, 1924, pàg. 294–301. DOI: 10.1007/BF01448011. JFM 50.0128.04.
• Brown, Ronald «Sequentially proper maps and a sequential compactification». J. London Math Soc. (2), 7, 1973, pàg. 515–522. DOI: 10.1112/jlms/s2-7.3.515.
• Engelking, Ryszard. General Topology. Helderman Verlag Berlin, 1989. ISBN 978-0-201-08707-9. 
• Fedorchuk, V.V.. Michiel Hazewinkel (ed.). Aleksandrov compactification. Encyclopedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Kelley, John L. General Topology. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1975. ISBN 978-0-387-90125-1. 
• Munkres, James. Topology. 2a edició. Prentice Hall, 1999. ISBN 0-13-181629-2. 
• Willard, Stephen. General Topology. Addison-Wesley, 1970. ISBN 3-88538-006-4. 

• Esfera de Riemann
• Espai normal
• Projecció azimutal estereogràfica