Funcions de Walsh
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0b/Natural_and_sequency_ordered_Walsh_16.svg/488px-Natural_and_sequency_ordered_Walsh_16.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/57/Walsh-18-Fourier.svg/278px-Walsh-18-Fourier.svg.png)
En matemàtiques, més concretament en anàlisi harmònica, les funcions de Walsh formen un conjunt ortogonal complet de funcions que es poden utilitzar per representar qualsevol funció discreta, igual que les funcions trigonomètriques es poden utilitzar per representar qualsevol funció contínua en l'anàlisi de Fourier.[1] Per tant, es poden veure com una contrapartida digital discreta del sistema analògic continu de funcions trigonomètriques a l'interval unitari. Però a diferència de les funcions sinus i cosinus, que són contínues, les funcions de Walsh són constants a trossos. Prenen només els valors -1 i +1, en subintervals definits per fraccions diàdiques.[2]
El sistema de funcions de Walsh es coneix com el sistema de Walsh. És una extensió del sistema Rademacher de funcions ortogonals.[3]
Les funcions de Walsh, el sistema de Walsh, la sèrie de Walsh[4] i la transformada ràpida de Walsh-Hadamard reben el nom del matemàtic nord-americà Joseph L. Walsh. Troben diverses aplicacions en física i enginyeria a l'hora d'analitzar senyals digitals.
Històricament, s'han utilitzat diverses numeracions de funcions de Walsh; cap d'ells és especialment superior a un altre. Aquest article utilitza la numeració de Walsh-Paley.[5]
Definim la seqüència de funcions de Walsh , com segueix.
Per a qualsevol nombre natural k i nombre real , amb:
sigui el bit j -è de la representació binària de k, començant per com a part menys significativa, i
sigui el bit j -è de la representació binària, començant per com el bit fraccional més significatiu.
En particular, a tot arreu de l'interval, ja que tots els bits de k són zero.
Cal observar que és precisament la funció de Rademacher rm. Així, el sistema Rademacher és un subsistema del sistema Walsh. A més, cada funció de Walsh és un producte de les funcions de Rademacher:
Les aplicacions de les funcions de Walsh es poden trobar allà on s'utilitzen representacions de dígits, inclòs el reconeixement de la parla, el processament d'imatges mèdiques i biològiques i l'holografia digital.
Per exemple, la transformada ràpida de Walsh-Hadamard (FWHT) es pot utilitzar en l'anàlisi de mètodes digitals quasi-Monte Carlo. En ràdioastronomia, les funcions de Walsh poden ajudar a reduir els efectes de la diafonia elèctrica entre els senyals de l'antena. També s'utilitzen en panells LCD passius com a formes d'ona de conducció binàries X i Y on l'autocorrelació entre X i Y es pot reduir al mínim per als píxels que estan apagats.
Referències
- ↑ Walsh 1923.
- ↑ «Walsh Functions - an overview | ScienceDirect Topics» (en anglès). https://www.sciencedirect.com.+[Consulta: 18 novembre 2022].
- ↑ Fine 1949.
- ↑ Schipp, Wade & Simon 1990.
- ↑ Weisstein, Eric W. «Walsh Function» (en anglès). https://mathworld.wolfram.com.+[Consulta: 18 novembre 2022].