Identitat de Dixon

En matemàtiques, la identitat de Dixon (o el teorema de Dixon o la fórmula de Dixon) és una de les diverses identitats diferents però estretament relacionades demostrades per A. C. Dixon, algunes que involucren sumes finites de productes de tres coeficients binomials, i algunes que avaluen una suma hipergeomètrica. Aquestes famoses identitats s'obtenen a partir del teorema mestre de MacMahon, i ara es poden demostrar rutinàriament mitjançant algorismes informàtics (Ekhad 1990).

Declaracions

La identitat original, de (Dixon 1891), és

∑ k = − a a ( − 1 ) k ( 2 a k + a ) 3 = ( 3 a ) ! ( a ! ) 3 . {\displaystyle \sum _{k=-a}^{a}(-1)^{k}{2a \choose k+a}^{3}={\frac {(3a)!}{(a!)^{3}}}.}

Una generalització, també de vegades anomenada identitat de Dixon, és

∑ k ∈ Z ( − 1 ) k ( a + b a + k ) ( b + c b + k ) ( c + a c + k ) = ( a + b + c ) ! a ! b ! c ! {\displaystyle \sum _{k\in \mathbb {Z} }(-1)^{k}{a+b \choose a+k}{b+c \choose b+k}{c+a \choose c+k}={\frac {(a+b+c)!}{a!b!c!}}}

on a, b, i c són enters no-negatius (Wilf 1994, p. 156). La suma per l'esquerra es pot escriure com una sèrie hipergeomètrica ben avinguda

( b + c b − a ) ( c + a c − a ) 3 F 2 ( − 2 a , − a − b , − a − c ; 1 + b − a , 1 + c − a ; 1 ) {\displaystyle {b+c \choose b-a}{c+a \choose c-a}{}_{3}F_{2}(-2a,-a-b,-a-c;1+b-a,1+c-a;1)}

i la identitat segueix com un cas limitant (quan a tendeix a un nombre enter) del teorema de Dixon que avalua una ben ponderada sèrie hipergeomètrica ₃F₂ generalitzada a 1, de (Dixon 1902):

3 F 2 ( a , b , c ; 1 + a − b , 1 + a − c ; 1 ) = Γ ( 1 + a / 2 ) Γ ( 1 + a / 2 − b − c ) Γ ( 1 + a − b ) Γ ( 1 + a − c ) Γ ( 1 + a ) Γ ( 1 + a − b − c ) Γ ( 1 + a / 2 − b ) Γ ( 1 + a / 2 − c ) . {\displaystyle \;_{3}F_{2}(a,b,c;1+a-b,1+a-c;1)={\frac {\Gamma (1+a/2)\Gamma (1+a/2-b-c)\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+a-c)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+a-b-c)\Gamma (1+a/2-b)\Gamma (1+a/2-c)}}.}

Això no passa a Re(1 + 1⁄2a − b − c) > 0. Quan c tendeix a −∞ es redueix a la fórmula de Kummer per a la funció hipergeomètrica ₂F1 a −1. El teorema de Dixon es pot deduir de l'avaluació de la integral de Selberg.

q-anàlegs

Un q-anàleg de la fórmula de Dixon per a la sèrie hipergeomètrica bàsica en termes del símbol q-Pochhammer és donat per

4 ϕ 3 [ a − q a 1 / 2 b c − a 1 / 2 a q / b a q / c ; q , q a 1 / 2 / b c ] = ( a q , a q / b c , q a 1 / 2 / b , q a 1 / 2 / c ; q ) ∞ ( a q / b , a q / c , q a 1 / 2 , q a 1 / 2 / b c ; q ) ∞ {\displaystyle \;_{4}\phi _{3}\left[{\begin{matrix}a&-qa^{1/2}&b&c\\&-a^{1/2}&aq/b&aq/c\end{matrix}};q,qa^{1/2}/bc\right]={\frac {(aq,aq/bc,qa^{1/2}/b,qa^{1/2}/c;q)_{\infty }}{(aq/b,aq/c,qa^{1/2},qa^{1/2}/bc;q)_{\infty }}}}

on |qa1/2/bc| < 1.

Referències

  • Dixon, A.C. «On the sum of the cubes of the coefficients in a certain expansion by the binomial theorem» (en anglès). Messenger of Mathematics, 20, 1891, pàg. 79–80.
  • Dixon, A.C. «Summation of a certain series» (en anglès). Proc. London Math. Soc., 35(1), 1902, pàg. 284–291. DOI: 10.1112/plms/s1-35.1.284.
  • Ekhad, Shalosh B. «A very short proof of Dixon's theorem» (en anglès). Journal of Combinatorial Theory, Series A, 54(1), 1990, pàg. 141–142. DOI: 10.1016/0097-3165(90)90014-N. ISSN: 1096-0899.
  • Gessel, Ira; Stanton, Dennis «Short proofs of Saalschütz's and Dixon's theorems» (en anglès). Journal of Combinatorial Theory, Series A, 38(1), 1985, pàg. 87–90. DOI: 10.1016/0097-3165(85)90026-3. ISSN: 1096-0899.
  • Ward, James «100 years of Dixon's identity» (en anglès). Irish Mathematical Society Bulletin, 27, 1991, pàg. 46–54. ISSN: 0791-5578.
  • Wilf, Herbert S. «Generatingfunctionology» (en anglès). Academic Press [Boston, MA], 1994.