Identitat de Palatini

En matemàtiques, la identitat de Palatini és una expressió, derivada pel matemàtic italià A. Palatini,[1] emprada en teoria de la relativitat i càlcul tensorial:[2]

δ R σ ν = ∇ ρ ( δ Γ ν σ ρ ) − ∇ ν ( δ Γ ρ σ ρ ) , {\displaystyle \delta R_{\sigma \nu }=\nabla _{\rho }(\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho })-\nabla _{\nu }(\delta \Gamma _{\rho \sigma }^{\rho }),}

on δ Γ ν σ ρ {\displaystyle \delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }} denota la variació dels símbols de Christoffel i ∇ ρ {\displaystyle \nabla _{\rho }} indica la derivada covariant.[3]

La identitat es pot derivar a partir de l'acció d'Hilbert–Einstein.

La "mateixa" identitat funciona per a la derivada de Lie L ξ R σ ν {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\xi }R_{\sigma \nu }}  :

L ξ R σ ν = ∇ ρ ( L ξ Γ ν σ ρ ) − ∇ ν ( L ξ Γ ρ σ ρ ) , {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\xi }R_{\sigma \nu }=\nabla _{\rho }({\mathcal {L}}_{\xi }\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho })-\nabla _{\nu }({\mathcal {L}}_{\xi }\Gamma _{\rho \sigma }^{\rho }),}

on ξ = ξ ρ ∂ ρ {\displaystyle \xi =\xi ^{\rho }\partial _{\rho }} denota qualsevol camp vectorial a la varietat d'espaitemps M {\displaystyle M} .

Referències

  1. ↑ Palatini, Attilio «Deduzione invariantiva delle equazioni gravitazionali dal principio di Hamilton» (en italià). Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (1884-1940), 43, 1, 01-12-1919, pàg. 203-212. DOI: 10.1007/BF03014670. ISSN: 0009-725X.
  2. ↑ Tsamparlis, Michael «On the Palatini method of variation». Journal of Mathematical Physics, 19, 3, 01-03-1978, pàg. 555–557. DOI: 10.1063/1.523699. ISSN: 0022-2488.
  3. ↑ Christoffel, E.B. «Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades». Journal für die reine und angewandte Mathematik, B. 70, 1869, p. 46–70.