Si(x) (Blau) i Ci(x) (verd) representats en el mateix gràfic.
Les integrals trigonomètriques són una família de les integrals que impliquen funcions trigonomètriques.
Integral del sinus
Trama de Si(x) per 0 ≤ x ≤ 8 π.
Les definicions d'integral sinus són
L'integrand sin x⁄x és la funció sinc, i també el zero de la funció de Bessel. sinc és una funció entera parell (holomorfa sobre tot el pla complex), per tant, Si és entera, senar, i la integral en la seva definició pot ser anar per qualsevol camí que connecta el extrems.
Per definició, Si(x) és la primitiva de sin x / x, el valor de la qual és zero a x = 0, i si(x) és la primitiva el valor de la qual és zero a x = ∞. La seva diferència és donada per l'integral de Drichlet ,
Integral del cosinus
Gràfic de Ci(Ci(x)) per 0 < x ≤ 8π . x 0 < x ≤ 8π . 8π .
Les diferents definicions de l'integral cosinus són:
On γ ≈ 0.57721566 ... és la constant d'Euler–Mascheroni.
Ci(x) és la primitiva de cos x / x (que desapareix a mesura que ). Les dues definicions estan relacionades per
Cin és una funció entera parell. Per aquest motiu, alguns textos tracten Cin com a la funció primària i deriven Ci a partir de Cin.
Les integrals trigonomètriques poden ser enteses en termes de "funcions auxiliars"
Utilitzant aquestes funcions, les integrals trigonomètriques poden expressar-se com (cf. Abramowitz & Stegun, p. 232)
Espiral de Nielsen
Espiral de Nielsen
L'espiral format per la representació dels paramètres de si, ci es coneix com espiral de Nielsen.
L'espiral de Nielsen està relacionat amb les integrals de Fresnel i l'espiral d'Euler. Té aplicacions dins el processament de la visió, la construcció de carreteres i altres camps.[1]
Expansió
Es poden utilitzar diverses expansions per avaluar les integrals trigonomètriques, depenent en el rang de l'argument.
Sèrie asimptòtica (per argument gran)
Aquestes sèries són asimptòtiques i divergents, tot i que poden ser utilitzades per fer estimacions i avaluacions parells precises en ℜ(x) ≫ 1.
Sèries convergents
Aquestes sèries són convergents a qualsevol x complexa, tot i que per | x | ≫ 1, la sèrie convergirà lentament en l'inici, requerint molts termes per obtenir una precisió alta.
Derivació d'expansió de Sèries
(Expansió de sèrie Maclaurin)
Relació amb la integral exponencial d'argument imaginari
La funció
s'anomena integral exponencial. Està relacionada a Si i Ci,
Les funcions són analítiques excepte en el tall dels valors negatius de l'argument, per aquesta raó l'àrea de la validesa de la relació s'hauria d'estendre més enllà d'aquest rang.
Casos d'arguments imaginaris de la funció generalitzada integro-exponencial són
que és la part real de
De manera semblant
Avaluació eficaç
Referències
↑Gray. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces., 1993, p. 119.
Bibliografia
Mathar, R.J.. Numerical evaluation of the oscillatory integral over exp(iπx)·x1/x between 1 and ∞, 2009.
Press, W.H.. «Section 6.8.2 – Cosine and Sine Integrals». A: Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing. 3rd. Cambridge University Press, 2007. ISBN 978-0-521-88068-8.
Sloughter, Dan. «Sine Integral Taylor series proof». Difference Equations to Differential Equations. Arxivat de l'original el 2015-11-05. [Consulta: 9 febrer 2021].
Enllaços externs
http://mathworld.wolfram.com/sineintegral.html
Michiel Hazewinkel (ed.). Integral sine. Encyclopedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Michiel Hazewinkel (ed.). Integral cosine. Encyclopedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.