LOCC

LOCC, o operacions locals i comunicació clàssica, és un mètode de la teoria de la informació quàntica on es realitza una operació local (producte) en una part del sistema, i on el resultat d'aquesta operació es "comunica" clàssicament a una altra part on normalment una altra operació es realitza condicionada a la informació rebuda.^[1]

La definició formal del conjunt d'operacions LOCC és complicada pel fet que les operacions locals posteriors depenen en general de tota la comunicació clàssica anterior i pel nombre il·limitat de rondes de comunicació. Per a qualsevol nombre finit ${\displaystyle r\geq 1}$ es pot definir ${\displaystyle \operatorname {LOCC} _{r}}$, el conjunt d'operacions LOCC que es poden aconseguir amb ${\displaystyle r}$ cicles de comunicació clàssica. El conjunt es fa estrictament més gran cada cop ${\displaystyle r}$ augmenta i s'ha de tenir cura de definir el límit d'infinites rondes. En particular, el conjunt LOCC no està topològicament tancat, és a dir, hi ha operacions quàntiques que es poden aproximar arbitràriament amb LOCC però que no són elles mateixes LOCC.^[2]

Un LOCC d'una ronda ${\displaystyle \operatorname {LOCC} _{1}}$ és un instrument quàntic ${\displaystyle \left\{{\mathcal {E}}_{x}\right\}}$, per als quals els mapes completament positius (CPM) no creixen ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{x}}$ són locals per a tots els resultats de mesura ${\displaystyle x}$, és a dir, ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{x}=\bigotimes _{j}({\cal {E}}_{x}^{j})}$ i hi ha un lloc ${\displaystyle j=K}$ tal que només a ${\displaystyle K}$ el mapa ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{x}^{K}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}_{x}=\bigotimes _{j\not =K}({\cal {T_{j}^{x}}})\otimes {\cal {E}}_{K}}$ no conserva traces. Això significa que l'instrument pot ser realitzat pel partit al lloc ${\displaystyle K}$ aplicant l'instrument (local). ${\displaystyle \left\{{\mathcal {E}}_{x}^{K}\right\}}$ i comunicant el resultat clàssic ${\displaystyle x}$ a totes les altres parts, que després realitzen cadascuna (condicionat a ${\displaystyle x}$ ) operacions quàntiques locals (deterministes) de preservació de traces ${\displaystyle {\cal {T}}_{x}^{j}}$.

Aleshores ${\displaystyle \operatorname {LOCC} _{r}}$ es defineixen recursivament com aquelles operacions que es poden realitzar seguint una operació ${\displaystyle \operatorname {LOCC} _{r-1}}$ amb una ${\displaystyle \operatorname {LOCC} _{1}}$ -operació. Aquí es permet que el partit que faci les operacions de seguiment depengui del resultat de les rondes anteriors. A més, també permetem el "gran gruixut", és a dir, descartant part de la informació clàssica codificada en els resultats de mesura (de totes les rondes).

La unió de tots ${\displaystyle \operatorname {LOCC} _{r}}$ operacions es denota per ${\displaystyle \operatorname {LOCC} _{\mathbb {N} }}$ i conté instruments que es poden aproximar cada cop millor amb més rondes LOCC. El seu tancament topològic ${\displaystyle {\overline {\operatorname {LOCC} }}_{\mathbb {N} }}$ conté totes aquestes operacions.

Es pot demostrar que tots aquests conjunts són diferents: ^[3]

${\displaystyle \operatorname {LOCC} _{r}\subset \operatorname {LOCC} _{r+1}\subset \operatorname {LOCC} _{\mathbb {N} }\subset {\overline {\operatorname {LOCC} }}_{\mathbb {N} }}$

El conjunt de totes les operacions LOCC està contingut en el conjunt ${\displaystyle \operatorname {SEP} }$ de totes les operacions separables. ${\displaystyle \operatorname {SEP} }$ conté totes les operacions que es poden escriure amb operadors Kraus que tenen tota la forma del producte, és a dir,

${\displaystyle {\cal {E}}(\rho )=\sum _{l}K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{l}\dots \otimes K_{N}\rho (K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{l}\dots \otimes K_{N})^{\dagger },}$

amb ${\displaystyle \sum _{l}K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{l}\dots \otimes K_{N}(K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{l}\dots \otimes K_{N})^{\dagger }=1}$. No hi ha totes les operacions ${\displaystyle \operatorname {SEP} }$ són LOCC,

${\displaystyle {\overline {\operatorname {LOCC} }}_{\mathbb {N} }\subset \operatorname {SEP} ,}$

és a dir, hi ha exemples que no es poden implementar localment fins i tot amb rondes infinites de comunicació.^[4]

LOCC són les "operacions lliures" en les teories de recursos de l'entrellat: l'entrellat no es pot produir a partir d'estats separables amb LOCC i si les parts locals, a més de poder realitzar totes les operacions LOCC, també disposen d'alguns estats entrellaçats, poden adonar-se de més. operacions que només amb LOCC.^[5]

es operacions LOCC són útils per a la preparació d'estats, la discriminació d'estats i les transformacions d'entrellaçament.

Alice i Bob reben un sistema quàntic en estat de producte ${\displaystyle |00\rangle =|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}}$. La seva tasca és produir l'estat separable ${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}|00\rangle \langle 00|+{\frac {1}{2}}|11\rangle \langle 11|}$. Només amb operacions locals això no es pot aconseguir, ja que no poden produir les correlacions (clàssiques) presents a ${\displaystyle \rho }$. Tanmateix, amb LOCC (amb una ronda de comunicació) ${\displaystyle \rho }$ es pot preparar: l'Alice llança una moneda imparcial (que mostra cap o cua cadascun amb un 50% de probabilitat) i gira el qubit (per ${\displaystyle |1\rangle _{A}}$ ) si la moneda mostra "cues", en cas contrari es deixa sense canvis. A continuació, envia el resultat de la moneda-flip (informació clàssica) a Bob que també gira el seu qubit si rep el missatge "cues". L'estat resultant és ${\displaystyle \rho }$. En general, tots els estats separables (i només aquests) es poden preparar a partir dels estats d'un producte només amb operacions LOCC.^[6]