Mètode de la bisecció
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/Bisection_method.png/220px-Bisection_method.png)
En matemàtiques, el mètode de la bisecció és un algorisme de cerca d'arrels d'una funció contínua en un interval. L'algorisme consisteix en dividir repetidament l'interval en dos subintervals i seleccionar el que conté l'arrel, fins a trobar l'arrel o una aproximació d'aquesta.
Introducció
El mètode es basa en el teorema del valor intermedi (TVI), segons el qual, tota funció contínua f en un interval tancat [a,b] s'anul·la en algun punt de l'interval si els signes de f(a) i f(b) són contraris.
Descripció del mètode:
- Es comprova que
- Es calcula el punt mitjà m de l'interval [a,b] i s'avalua f(m).
- Si f(m)=0, m és una arrel. Si no, es comprova que f(m) té signe contrari que f(a) ó f(b).
- Es redefineix l'interval [a,b] com [a,m] ó [m,b] segons s'haja determinat en quin d'aquests intervals es produeix un canvi de signe.
- Es repeteix el procés amb l'interval fins a arribar a la precisió desitjada.
Si existeixen més d'una arrel, no es pot assegurar a quina d'aquestes convergeix el mètode.
Algorisme
Es defineixen tres successions :
on els valors inicials venen donats per:
Es pot provar que les tres successions convergeixen a la mateixa arrel:[1]
Demostració de la convergència
Sigui r una arrel continguda en l'interval [a,b]. L'interval de cerca en el pas n-èssim té longitud
Com que es troba sempre a l'interval de cerca,
Prenent límits,
Fita de l'error
L'error comès al realitzar iteracions del mètode és[1]
Per aconseguir un error inferior a , el nombre d'iteracions a realitzar ha de ser
Vegeu també
Bibliografia
- Richard L Burden, J. Douglas Faires (2000), "Numerical Analysis, (7th Ed)", Brooks/Cole. ISBN 0-534-38216-9.
- Corliss, George «Which root does the bisection algorithm find?». SIAM Review, 19, 2, 1977, p. 325–327. DOI: 10.1137/1019044. ISSN: 1095-7200.