Pseudoespectre

En matemàtiques, el pseudoespectre d'un operador és un conjunt que conté l'espectre de l'operador i els valors que són "gairebé" valors propis. El pseudoespectre resulta particularment útil per a entendre els operadors no normals i les seves funcions pròpies.

El ${\displaystyle \epsilon }$-pseudoespectre d'una matriu ${\displaystyle A}$ està constituït per tots els valors propis de les matrius ${\displaystyle \epsilon }$-properes a ${\displaystyle A}$:^[1]

$${\displaystyle \Lambda _{\epsilon }(A)=\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \exists x\in \mathbb {C} ^{n}\setminus \{0\},\exists E\in \mathbb {C} ^{n\times n}\colon (A+E)x=\lambda x,\|E\|\leq \epsilon \}.}$$

Els mètodes numèrics per al càlcul dels valors propis d'una matriu cometen errors a causa de l'arrodoniment i altres factors. Aquests errors poden descriure's mitjançant la matriu ${\displaystyle E}$.

De forma més general, considerant espais de Banach ${\displaystyle X,Y}$, pot definirse el ${\displaystyle \epsilon }$-pseudoespectre de l'operador ${\displaystyle A:X\to Y}$ (denotat per ${\displaystyle {\text{sp}}_{\epsilon }(A)}$) de la següent manera:$${\displaystyle {\text{sp}}_{\epsilon }(A)=\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \|(A-\lambda I)^{-1}\|\geq 1/\epsilon \},}$$on, per conveni, es considera ${\displaystyle \|(A-\lambda I)^{-1}\|=\infty }$ si ${\displaystyle A-\lambda I}$ no és invertible.^[2]

• Lloyd N. Trefethen i Mark Embree: "Spectra And Pseudospectra: The Behavior of Nonnormal Matrius And Operators", Princeton Univ. Press, ISBN 978-0691119465 (2005).
• Pseudospectra Gateway / Embree i Trefethen [1]