Triangle de Tartaglia
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0d/PascalTriangleAnimated2.gif/220px-PascalTriangleAnimated2.gif)
El triangle de Tartaglia, també anomenat triangle de Pascal, és un esquema matemàtic utilitzat per a la potenciació de binomis.[1]
Mètode de construcció
Es comença amb un 1.
1
Després s'escriuen dos 1 a sota.
1 1 1
A les següents files, els nombres són el resultat de sumar els dos nombres immediatament superiors. Els nombres situats als laterals, són sempre 1.[2]
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
Propietats
El triangle de Tartaglia té diverses propietats interessants.
- En primer lloc, notem que el resultat de sumar els elements de cada fila dona una potència de 2: . Aquest fet és conseqüència immediata del binomi de Newton, ja que:[3]
- En segon lloc, donat un binomi a+b elevat a n, pel binomi de Newton es dona la relació següent:
El triangle de Tartaglia ens permet saber els valors que prenen els factors . En el triangle, podem buscar el coeficient binomial del desenvolupament de de la manera següent:
En el triangle busquem la filera n, començant des del 0. Notem que la filera té n+1 termes. Movent-nos en aquesta filera, el coeficient és el terme i-èsim de la filera.
Exemples:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Sierpinski_pascal.png/220px-Sierpinski_pascal.png)
- Les fileres de cada triangle no són simètriques, ja que:
- Si ens quedem tan sols amb els múltiples de dos, el triangle guarda una certa similitud amb el triangle de Sierpinski.
- Diagonals:
- Les diagonals externes són sempre uns.[4]
- Els nombres de la sèrie de Fibonacci es troben al sumar els elements de les diagonals formades de pujar d'una fila a l'anterior una posició.[5]
- Una diagonal més interior dona els nombres naturals (1,2,3,4,5...).
- La següent diagonal més interior (1,3,6,10...) són nombres triangulars, és a dir, nombres amb què es poden construir triangles.[6] Si es suma cadascun d'aquests nombres amb l'anterior s'obtenen els nombres quadrats.
- La quarta diagonal correspon als nombres tetraèdrics (s'hi poden construir tetràedres).[3][7]
- A la cinquena diagonal, hi ha els nombres pentatòpics, que representen el nombre d'elements dels pentatops.
- La conjectura de Singmaster postula que el nombre de vegades que apareix cada nombre major que 1 és finit. El nombre 3003 és l'únic que es coneix que apareix fins a vuit vegades al triangle.
Història
L'any 1303 matemàtics xinesos ja tenien coneixement d'aquesta matriu triangular.[8] Blaise Pascal la va redescobrir uns segles després.[4][9][10]
Bibliografia
- Paulos, John Allen. Más allá de los números: meditaciones de un matemático. 1. ed.. Barcelona: Tusquets, 1993. ISBN 84-7223-687-0.
- Weisstein, Eric W. Concise Encyclopedia of Mathematics. CRC Press, 1999, p. 636. ISBN 0-8493-9640-9.
- Beyer, William H. Standard Mathematical Tables and Formulae. 29a ed. CRC Press, p. 279. ISBN 0-8493-0629-9.
Referències
- ↑ Pascal's Triangle. MathWorld (anglès)
- ↑ «Leibniz and Pascal Triangles». [Consulta: 17 febrer 2022].
- ↑ 3,0 3,1 Paulos, 1993, p. 287.
- ↑ 4,0 4,1 Paulos, 1993, p. 284.
- ↑ «All You Ever Wanted to Know About Pascal's Triangle and more». [Consulta: 20 febrer 2022].
- ↑ Gardner, Martin. «15. El triángulo de Pascal». A: Carnaval matemático (en castellà). Alianza Editorial, p. 272. ISBN 9788491811503 [Consulta: 27 gener 2022]. «Las hileras diagonales, paralelas a los lados de la figura, dan los números triangulares y sus equivalentes en espacios de cualquier número de dimensiones.»
- ↑ Gardner, Martin. «15. El triángulo de Pascal». A: Carnaval matemático (en castellà). Alianza Editorial, p. 273. ISBN 9788491811503 [Consulta: 27 gener 2022]. «La tercera diagonal contiene los números tetraédricos: cardinales de conjuntos de puntos que forman disposiciones tetraédricas en el espacio tridimensional.»
- ↑ Katz, V. J.. «Binomial Theorem and the Pascal Triangle». A: A History Of Mathematics: An Introduction. UniSA, 1992.
- ↑ Fox, Peter. Cambridge University Library: The great collections, 1998, p. 13. ISBN 978-0-521-62647-7.
- ↑ Maor, Eli. The Story of a Number. 1994: Princeton University Press, p. 71. ISBN 0-691-05854-7.
Vegeu també
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png)