V matematice, konkrétně v komplexní analýze, jsou Cauchyho-Riemannovy podmínky nutnou (ne však postačující) podmínkou, aby daná funkce byla holomorfní (tedy komplexně diferencovatelná). Postačující podmínkou je např. pokud mají funkce u,v spojité parciální derivace. Jde o parciální diferenciální rovnice pojmenované po Augustinu Cauchym a Bernhardu Riemannovi. Poprvé se tyto rovnice objevily roku 1752 v práci D'Alemberta.
Cauchyova-Riemannova věta
Následující tvrzení, které charakterizuje holomorfní funkce pomocí Cauchyových-Riemannových podmínek, bývá označováno jako Cauchyova-Riemannova věta.
Buď f(x + iy) = u + iv funkce z otevřené podmnožiny komplexních čísel C do C, kde x a y jsou reálná čísla a u, v jsou reálné funkce definované na otevřené podmnožině R2. Potom f je holomorfní právě když u a v jsou spojitě diferencovatelné a jejich parciální derivace splňují Cauchyho-Riemannovy podmínky:
![{\displaystyle {\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf48bc9b835512ef7918d28d321eb5cbae773987)
a
![{\displaystyle {\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28bf24c868cc3fb0a28bef73da46312fc63a9dad)
Tyto dvě podmínky lze ekvivalentně vyjádřit pomocí jediného vztahu:
![{\displaystyle {i{\partial f \over \partial x}}={\partial f \over \partial y}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44fe7b5b2e2c2b29abfc976ec9f28c318e6b6de1)
Je-li komplexní číslo zapsáno v polárních souřadnicích:
, lze zapsat Cauchyho-Riemannovy podmínky ve tvaru:
![{\displaystyle {\partial u \over \partial r}={1 \over r}{\partial v \over \partial \theta },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d9fe83a5f8e9d8491b33d9f713ec0996dd52a66)
![{\displaystyle {\partial v \over \partial r}=-{1 \over r}{\partial u \over \partial \theta }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d793d4c119894927d5a362baa2b4d61dd0c2880d)
Opět lze tyto dvě rovnice zapsat pomocí jediné:
![{\displaystyle {\partial f \over \partial r}={1 \over ir}{\partial f \over \partial \theta },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5a49b6e2697599fdc9487abd3d02adbbbecb332)
kde derivace uvažujeme v bodě
.
Odvození
Jako derivace funkce dvou proměnných
První možností jak vést důkaz je říci, že má-li funkce parciální derivaci jako funkce dvou proměnných, potom musí mít stejnou hodnotu podél všech křivek procházejících daným bodem. Máme-li funkci f(z) = u(x, y) + i v(x, y) nad C, a počítáme-li derivaci v bodě, z0, přibližujeme se k z0 nejprve po křivce podél reálné osy a poté podél imaginární osy. Obě hodnoty derivací musí vyjít stejné.
Podél reálné osy:
| |
| |
| |
| |
což je z definice parciální derivace rovno
![{\displaystyle f'(z)={\partial u \over \partial x}+i{\partial v \over \partial x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c615bbcd9fef7890b5365204538d2d7729e39bc8)
Podél imaginární osy:
| |
| |
| |
| |
| |
tedy opět z definice parciální derivace:
![{\displaystyle f'(z)={\partial v \over \partial y}-i{\partial u \over \partial y}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fd09edb5971286fd1259116e207c536f438bcd6)
Porovnáním těchto dvou výsledků
![{\displaystyle {\partial u \over \partial x}+i{\partial v \over \partial x}={\partial v \over \partial y}-i{\partial u \over \partial y}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/466d519d6700a47b3a49700606c3cdbf5e28d8d0)
Má-li se rovnat reálná i imaginární část bude
![{\displaystyle {\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf48bc9b835512ef7918d28d321eb5cbae773987)
![{\displaystyle {\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}.\quad \square }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f51ec82f81273eae12210aa2d7c6bf9d29c8f4d3)
Pomocí reprezentace derivace jako lineárního zobrazení
Další možností, jak odvodit Cauchyho-Riemannovy podmínky je uvažovat komplexní derivaci jako lineární zobrazení a to dvěma způsoby – jako zobrazení z
do
a jako zobrazení z
do
.
Chápeme-li f přirozeným způsobem jako funkci z
do
, je lineární zobrazení L totálním diferenciálem f v bodě z, platí-li:
, kde
je funkce splňující ![{\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\xi (h)}{\|h\|}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3afd6cc5474b80fc2cfbd29288cb8e2dae9507ea)
Na druhou stranu si uvědomme, že komplexní číslo w je komplexní derivací funkce
v bodě z, právě když pro všechna
platí:
, kde
je opět funkce splňující ![{\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\xi (h)}{|h|}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8325d96a847927a98e03a1608b4322a9510678d)
Přitom w = s + it určuje jednoznačně lineární zobrazení
dané maticí
![{\displaystyle W={\begin{pmatrix}s&-t\\t&\;\;s\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bbc18ee858bf60ddde3cc5a18d693b4f01666fa)
Toto zobrazení splňuje (stále při přirozeném ztotožňování komplexních čísel s vektory z
) vztah
, tedy platí:
, kde
je opět funkce splňující
.
Tedy na jednu stranu, má-li f v bodě z komplexní derivaci w, je zobrazení W totálním diferenciálem
a tedy platí:
![{\displaystyle W={\begin{pmatrix}s&-t\\t&\;\;s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial u}{\partial x}}(z)&{\frac {\partial u}{\partial y}}(z)\\{\frac {\partial v}{\partial x}}(z)&{\frac {\partial v}{\partial y}}(z)\end{pmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fe21dac7ac468ed7fdfe53717b3edad4d202144)
odkud Cauchyho-Riemannovy podmínky zřejmě plynou.
Na druhou stranu, má-li f = u + iv spojité parciální derivace v z, má v z totální diferenciál:
![{\displaystyle \mathrm {d} f(z)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial u}{\partial x}}(z)&{\frac {\partial u}{\partial y}}(z)\\{\frac {\partial v}{\partial x}}(z)&{\frac {\partial v}{\partial y}}(z)\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98b1c754ca2b1167db80bac92cad1da901bf8993)
Pak z dříve dokázaných vztahů je číslo
komplexní derivací funkce f, neboť díky platnosti Cauchyho-Riemannových podmínek je lineární zobrazení W určené takto definovaným w rovno
.
Reference
- Veselý, J.: Komplexní analýza, Karolinum Praha, 2000
Externí odkazy
- Cauchyho–Riemannovy podmínky v encyklopedii MathWorld (anglicky)