Dirichletova funkce
Dirichletova funkce je funkce, která je definovaná na oboru všech reálných čísel a přitom není spojitá v žádném bodě. Nabývá hodnoty 1, pokud je argumentem racionální číslo, nebo 0, pokud je argumentem iracionální číslo.
Definice a graf
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0c/Dirichletova_funkce2.svg/270px-Dirichletova_funkce2.svg.png)
Dirichletova funkce je definována následujícím předpisem:[1]
Ekvivalentně lze definovat: .[zdroj?]
Náznak grafu Dirichletovy funkce je znázorněn na obrázku vpravo. Skutečný graf této funkce nelze žádným způsobem nakreslit ani si ho představit, což vedlo mnohé matematiky zejména v 19. století k pochybám, zda Dirichletova funkce je skutečně funkcí či jakousi "příšerou", která nepatří do matematiky. Dnes již matematika zcela bez námitek uznává i funkce mnohem podivnější.
Vlastnosti
Dirichletova funkce:
- není spojitá v žádném bodě[1]
- nemá dokonce v žádném bodě limitu a to ani jednostrannou[1]
- není monotónní na žádném intervalu ani v žádném bodě[1]
- nabývá maxima v každém racionálním bodě a minima v každém iracionálním bodě
- na žádném intervalu pro ni není definován Newtonův[2] ani Riemannův integrál
- Lebesgueův integrál a Kurzweilův integrál přes libovolný interval je roven 0
Odkazy
Reference
- ↑ a b c d Math Tutor [online]. Fakulta elektrotechnická ČVUT [cit. 2015-12-06]. Kapitola Dirichletova funkce a její modifikace. Dostupné online.
- ↑ Math Tutor - Integral - Theory - Introduction. math.feld.cvut.cz [online]. [cit. 2018-01-19]. Dostupné online.
Související články
- Charakteristická funkce
- Peter Dirichlet
- Riemannova funkce
- Křivka vyplňující prostor
Externí odkazy
- Dirichletova funkce v encyklopedii MathWorld (anglicky)
- Dirichletova funkce a její modifikace: http://math.feld.cvut.cz/mt/txtb/4/txc3ba4s.htm