Galoisova grupa
Galoisova grupa je pojem z algebry. Je to grupa definována pro těleso a jeho konečné rozšíření. Studium rozšíření těles pomocí Galoisovy grupy souvisí s Galoisovou teorií, která vznikla jako nástroj pro popis řešení polynomiálních rovnic. Historicky stál u zrodu této teorie Évariste Galois, který je považován za zakladatele teorie grup.
Definice
Nechť je rozšíření tělesa (zapisuje se jako ). Automorfizmus je takový automorfizmus tělesa , který zachovává všechny prvky , tj. pro každé . Množina všech automorfizmů spolu s operací skládání tvoří grupu, která se nazývá Galoisova grupa. Značí se , anebo .
Příklady
- obsahuje dva prvky: identitu a komplexní sdružení.
- Nechť je těleso racionálních čísel a . Pak obsahuje identitu a zobrazení .
- Nechť je prvočíslo a je Galoisovo těleso o prvcích, jeho nejmenší podtěleso. Pak je cyklická grupa řádu .
- Nechť je ireducibilní polynom s racionálními koeficienty stupně , jeho rozkladové těleso a nechť má v právě dva nereálné kořeny. Pak (někdy se také nazývá Galoisova grupa polynomu ) je izomorfní symetrické grupě . Její prvky permutují kořeny polynomu .
Vlastnosti
Fundamentální věta Galoisovy teorie tvrdí, že podgrupy Galoisovy grupy odpovídají mezitělesům .[1] Tato korespondence přiřadí podgrupě podtěleso , které je fixováno touto podgrupou.
V případě nekonečného rozšíření uvažujeme v této korespondenci pouze uzavřené podgrupy vůči tzv. Krollově topologii.
Galoisovy grupy se začaly zkoumat v souvislosti se snahou řešit polynomiální rovnice vyššího stupně pomocí sčítání, odčítání, násobení, dělení a odmocnin racionálních čísel a koeficientů daného polynomu. Takové řešení existuje právě když Galoisova grupa polynomu je řešitelná.
Reference
![]() | Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty. |