Graf funkce a plochy mezi funkcí a osou ; tato plocha se rovná
Gaussův integrál, také známý jako Eulerův-Poissonův integrál či Poissonův integrál,[1] je integrál Gaussovy funkce přes celou reálnou osu:
.
Jména tomuto integrálu dali matematici Carl Friedrich Gauss, Leonhard Euler a Siméon Denis Poisson.
Výpočet
Integrál Gaussovy funkce označíme :
.
Obě strany rovnice umocníme na druhou, přičemž proměnnou ve druhém integrálu označíme :
.
Součin integrálů odpovídá dvojnému integrálu funkce dvou proměnných, která je součinem původních funkcí:
.
Graf této funkce si můžeme představit jako kopec (tvarem připomíná horu Říp) nad rovinou s kartézskými souřadnicemi . Integrál představuje objem kopce. Jelikož je kopec souměrný podle svislé osy, hodí se k jeho popisu polární soustava souřadnic, do kterých funkci přepíšeme:
.
Tento integrál už lze jednoduše vyřešit substitucí a jeho hodnota je . Odmocněním rovnice dostaneme výsledek:
.
Reference
↑Пуассона интеграл Archivováno 28. 8. 2009 na Wayback Machine., БСЭ
Literatura
Josef Kvasnica: Matematický aparát fyziky, Academia, Praha 1997, ISBN80-200-0603-6