Opačná kategorie

V teorii kategorií, oboru matematiky, je opačná kategorie či duální kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}\,^{\rm {op}}}$dané kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ utvořena obrácením morfismů, tj. výměnou zdroje a cíle každého morfismu. Dvojnásobná výměna dává původní kategorii, takže opak opačné kategorie je původní kategorie. Symbolicky: ${\textstyle \left({\mathcal {C}}\,^{\rm {op}}\right)^{\rm {op}}={\mathcal {C}}.}$

• Příkladem je obrácení směru nerovností v částečném uspořádání. Tedy pokud X je množina a ≤ relace částečného uspořádání, můžeme definovat nový vztah částečného uspořádání ≤^op jako

x ≤^op y, právě když y ≤ x.

Toto nové uspořádání se běžně nazývá duální uspořádání k ≤ a je většinou značeno symboly jako například ≥. Proto hraje dualita důležitou roli v teorii uspořádání a každý koncept z teorie uspořádání má koncept duální. Například existují opačné dvojice dítě/rodič, potomek/předek, infimum/supremum, dolní množina/horní množina, ideál/filtr apod. Tyto duality v teorii uspořádání jsou zase zvláštními případy konstrukce opačných kategorií, protože každou uspořádanou množinu lze chápat jako kategorii.

• Pro danou pologrupu ${\displaystyle \left(S,*\right)}$se obvykle opačná pologrupa definuje jako ${\displaystyle \left(S,*\right)^{\rm {op}}=\left(S,\cdot \right)\!,}$ kde ${\displaystyle x\cdot y\equiv y*x}$ pro každá ${\displaystyle x,y\in S}$. Takže i pro pologrupy platí princip duality. Je zřejmé, že stejná konstrukce funguje i pro grupy a je známa také v teorii okruhů, kde se aplikuje na multiplikativní pologrupu okruhu, čímž se zkonstruuje opačný okruh. I zde lze tento proces popsat rozšířením pologrupy na monoid, přičemž se vezme příslušná opačná kategorie a nakonec se z toho monoidu případně odstraní jednotka.
• Kategorie booleovských algeber a booleovských homomorfismů je ekvivalentní k opaku kategorie Stoneových prostorů a spojitých funkcí.
• Kategorie afinních schémat je ekvivalentní k opaku kategorie komutativních okruhů.
• Pontryaginova dualita se omezuje na ekvivalenci mezi kategorií kompaktních Hausdorffových abelovských topologických grup a opakem kategorie (diskrétních) abelovských grup.
• Podle Gelfandovy-Neumarkovy věty je kategorie lokalizovatelných měřitelných prostorů (s měřitelnými funkcemi) ekvivalentní s kategorií komutativních Von Neumannových algeber (s normálními unitálními homomorfismy *-algeber). ^[1]

Opak zachovává součiny:

${\displaystyle \left({\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}\right)^{\rm {op}}\cong {\mathcal {C}}\,^{\rm {op}}\times {\mathcal {D}}\,^{\rm {op}}}$ (viz součinová kategorie)

Opak zachovává funktory:

${\displaystyle {\rm {{Func}\left(C,D\right)^{\rm {op}}\cong {\rm {{Func}\left(C^{\rm {op}},D^{\rm {op}}\right)}}}}}$ (viz kategorie funktorů, opačný funktor) ^{[2] [3]}

Opak zachovává řezy:

${\displaystyle \left(F\downarrow G\right)^{\rm {op}}\cong \left(G^{\rm {op}}\downarrow F^{\rm {op}}\right)}$ (viz čárková kategorie)

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Opposite category na anglické Wikipedii.

• MAC LANE, Saunders. Categories for the Working Mathematician. Second. vyd. New York, NY: Springer New York, 1978. ISBN 1441931236. OCLC 851741862 S. 33. Je zde použita šablona {{Cite book}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.
• AWODEY, Steve. Category theory. 2nd. vyd. Oxford: Oxford University Press, 2010. ISBN 0199237182. OCLC 740446073 S. 53-55. Je zde použita šablona {{Cite book}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.

• Adujngovaný funktor
• Kontravariantní funktor
• Opačný funktor