Ortogonální doplněk

V matematice tvoří ortogonální doplněk množiny ${\displaystyle M}$ všechny vektory, které jsou na prvky dané množiny kolmé. Značí se ${\displaystyle M^{\perp }}$.

Ortogonální doplněk se využívá v lineární algebře a funkcionální analýze. Má řadu aplikací, např. v teorii relativity.

Ortogonální doplněk množiny ${\displaystyle M}$ ve vektorovém prostoru ${\displaystyle V}$ se skalárním součinem je množina ${\displaystyle M^{\perp }}$ všech vektorů z ${\displaystyle V}$ které jsou kolmé na všechny vektory z ${\displaystyle M}$, formálně:

${\displaystyle M^{\perp }=\{{\boldsymbol {v}}\in V:\forall {\boldsymbol {u}}\in M:\langle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {u}}\rangle =0\}}$

Ortogonální doplněk množiny ${\displaystyle M=\{(1,3-2)^{\mathrm {T} },(3,5,6)^{\mathrm {T} }\}}$ v prostoru ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu tvoří všechny vektory ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ takové, že ${\displaystyle \langle {\boldsymbol {v}},(1,3-2)^{\mathrm {T} }\rangle =0}$ a zároveň ${\displaystyle \langle {\boldsymbol {v}},(3,5,6)^{\mathrm {T} }\rangle =0}$.

Souřadnice hledaných vektorů ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ lze popsat homogenní soustavou lineárních rovnic:

${\displaystyle {\begin{array}{rcrcr}v_{1}&+&3v_{2}&-&2v_{3}&=&0\\3v_{1}&+&5v_{2}&+&6v_{3}&=&0\end{array}}}$

neboli soustavou ${\displaystyle {\boldsymbol {Av}}={\boldsymbol {0}}}$, kde řádky matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ tvoří vektory množiny ${\displaystyle M}$.

Řešením soustavy neboli jádrem matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$, a tedy i ortogonálním doplňkem množiny ${\displaystyle M}$ je ${\displaystyle M^{\perp }=\operatorname {ker} {\boldsymbol {A}}=\{c(-7,3,1)^{\mathrm {T} }:c\in \mathbb {R} \}}$.

Geometricky lze doplněk ${\displaystyle M^{\perp }}$ interpretovat jako normálu k rovině ${\displaystyle U}$ určené počátkem a body množiny ${\displaystyle M}$. Nenulové vektory této přímky jsou kolmé nejenom na oba vektory z ${\displaystyle M}$, ale na všechny vektory roviny ${\displaystyle U}$.

Jinými slovy, ${\displaystyle M^{\perp }}$ je nejen ortogonální doplněk řádků matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$, ale zároveň i ortogonálním doplňkem ${\displaystyle U^{\perp }}$ jejího řádkového prostoru ${\displaystyle U}$, t.j. prostoru obsahujícího všechny lineární kombinace obou řádků ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$.

Pokud pro vektory ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ z vektorového prostoru ${\displaystyle V}$ nad tělesem ${\displaystyle T}$ s bilineární formou ${\displaystyle B}$ platí, že ${\displaystyle B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})=0}$, potom ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}}$ je zleva kolmý (ortogonální) k ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$, a také ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ je k ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}}$ kolmý zprava. Pro podmnožinu ${\displaystyle M}$ prostoru ${\displaystyle V}$ se levý ortogonální doplněk ${\displaystyle W^{\perp }}$ definuje jako:

${\displaystyle W^{\perp }=\{{\boldsymbol {v}}\in V:\forall {\boldsymbol {u}}\in M:B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {u}})=0\}}$

Analogicky lze definovat pravý ortogonální doplněk. Pro bilineární formu, splňující ${\displaystyle \forall {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\in V:B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})=0\implies B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {u}})=0}$, se levý a pravý doplněk shodují. Uvedený případ nastává, například pokud ${\displaystyle B}$ je symetrická nebo antisymetrická bilineární forma.

Definici doplňku lze rozšířit pro bilineární formy na volném modulu nad komutativními okruhy a pro seskvilineární formy rozšířené tak, aby obsahovaly jakýkoli volný modul na komutativním okruhu s konjugací.

• Ortogonální doplněk je podprostorem vektorového prostoru ${\displaystyle V}$.
• Pokud ${\displaystyle M\subseteq N}$, pak ${\displaystyle M^{\perp }\supseteq N^{\perp }}$.
• Doplněk ${\displaystyle V^{\perp }}$ celého prostoru ${\displaystyle V}$ je podprostorem každého ortogonálního doplňku.
• ${\displaystyle M\subseteq (M^{\perp })^{\perp }}$
• Pokud je forma ${\displaystyle B}$ nedegenerovaná a ${\displaystyle U}$ je podprostorem prostoru ${\displaystyle V}$ konečné dimenze, potom platí: ${\displaystyle \dim U+\dim U^{\perp }=\dim V}$.

Pro ortogonální doplněk na unitárním prostoru ${\displaystyle V}$ platí všechny vlastnosti uvedené v předchozím odstavci a dále:

• ${\displaystyle M^{\perp }=\{{\boldsymbol {v}}\in V:\forall {\boldsymbol {u}}\in M:\langle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {u}}\rangle =0\}=\{{\boldsymbol {v}}\in V:\forall {\boldsymbol {u}}\in M:\langle {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\rangle =0\}}$

• ${\displaystyle M^{\bot }\cap \left(\operatorname {span} M\right)=\{{\boldsymbol {0}}\}}$

Kolmost dvou vektorů ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ splňuje: ${\displaystyle \langle {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\rangle =0\Longleftrightarrow \forall c\in \mathbb {C} :\|{\boldsymbol {u}}\|\leq \|{\boldsymbol {u}}+c{\boldsymbol {v}}\|}$, a tak ortogonální doplněk podprostoru ${\displaystyle U}$ prostoru ${\displaystyle V}$ lze zapsat jako množinu:

• ${\displaystyle U^{\bot }=\left\{{\boldsymbol {v}}\in V:\forall \ {\boldsymbol {u}}\in U:\|{\boldsymbol {v}}\|\leq \|{\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {u}}\|\right\}}$

Každý uzavřený podprostor ${\displaystyle U}$ Hilbertova prostoru ${\displaystyle V}$ má navíc vlastnosti:

• ${\displaystyle \left(U^{\bot }\right)^{\bot }=U}$

• Prostor ${\displaystyle V}$ má ortogonální rozklad ${\displaystyle V=U\oplus U^{\bot }}$ kde ${\displaystyle \oplus }$ značí přímý součet dvou podprostorů.

Speciálními případy Hilbertových prostorů jsou unitární prostory konečné dimenze. V nich je vždy zaručeno, že ${\displaystyle \dim U+\dim U^{\perp }=\dim V}$.

Je-li ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ reálná či komplexní matice typu ${\displaystyle m\times n}$ a symboly ${\displaystyle R_{\boldsymbol {A}}}$, ${\displaystyle S_{\boldsymbol {A}}}$ a ${\displaystyle \ker {\boldsymbol {A}}}$ značí řádkový prostor, sloupcový prostor a jádro matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$, resp., tak tyto prostory jsou vzájemnými ortogonálními doplňky:

• ${\displaystyle (R_{\boldsymbol {A}})^{\bot }=\ker {\boldsymbol {A}}}$

• ${\displaystyle (S_{\boldsymbol {A}})^{\bot }=\ker({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} })}$

Ve speciální teorii relativity se ortogonální doplněk používá k určení současné nadroviny v bodě světočáry. Bilineární forma ${\displaystyle \eta }$ použitá v Minkowského prostoru určuje pseudoeuklidovský prostor událostí. Počátek a všechny události na světelném kuželu jsou samy k sobě ortogonální. Když bilineární forma zobrazí časovou a prostorovou událost na nulu, pak jsou tyto události hyperbolicky ortogonální. Uvedená terminologie vychází z použití dvou sdružených hyperbol v pseudoeuklidovské rovině: sdružené průměry těchto hyperbol jsou hyperbolicky ortogonální.

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Orthogonal complement na anglické Wikipedii.

• BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
• HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. 
• OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

• Ortogonální projekce