Prüferův obor

Prüferův obor je pojem z matematiky, konkrétněji z teorie okruhů. Jedná se o obory, které sdílejí vlastnosti s Dedekindovými obory, přestože nemusí být noetherovské. Tvrzení o ideálech a modulech známá v případě Dedekindových oborů pro ně ovšem platí jen v případě konečně generovaných modulů. Prüferovy okruhy nesou své jméno po německém matematikovi Heinzovi Prüferovi.

Prüferův okruh je takový komutativní okruh bez dělitelů nuly, v kterém je každý konečně generovaný ideál invertibilní vzhledem k násobení ideálů.

Existuje ovšem velké množství ekvivalentních definic. Například kterákoliv z následujících vlastností je v případě oboru integrity ${\displaystyle R}$ ekvivalentní tomu, že se jedná o Prüferův obor:

• Každý nenulový konečně generovaný ideál ${\displaystyle I}$ oboru ${\displaystyle R}$ je invertibilní, to jest ${\displaystyle \ I\cdot I^{-1}=R}$, kde ${\displaystyle I^{-1}=\{r\in q(R):rI\subseteq R\}}$ a ${\displaystyle \ q(R)}$ je podílové těleso.
• Každý nenulový ideál generovaný dvěma prvky je invertibilní.
• Pro libovolné nenulové (konečně generované) ideály ${\displaystyle I,J,K}$ z ${\displaystyle R}$ platí ${\displaystyle I\cap (J+K)=(I\cap J)+(I\cap K)}$.
• Pro libovolné nenulové (konečně generované) ideály ${\displaystyle I,J,K}$ z ${\displaystyle R}$ platí ${\displaystyle I(J\cap K)=IJ\cap IK}$.
• Pro libovolné nenulové (konečně generované) ideály ${\displaystyle I,J,K}$ z ${\displaystyle R}$ platí ${\displaystyle (I+J)(I\cap J)=IJ}$.
• Pro libovolné nenulové (konečně generované) ideály ${\displaystyle I,J,K}$ z ${\displaystyle R}$ platí, že pokud ${\displaystyle IJ=IK}$, pak ${\displaystyle J=K}$ nebo ${\displaystyle I=0}$.

• Pokud ${\displaystyle R}$ je Prüferův obor a ${\displaystyle K}$ je jeho podílové těleso, pak je Prüferův i každý okruh ${\displaystyle S}$ splňující ${\displaystyle R\subseteq S\subseteq K}$.

• Okruh všech celých funkcí v otevřené komplexní rovině ${\displaystyle \mathbb {C} }$ je Prüferův obor.

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Prüfer domain na anglické Wikipedii.