Rovnoběžné souřadnice

Rovnoběžné souřadnice
Rovnoběžné souřadnice

Rovnoběžné souřadnice jsou běžný způsob zobrazování ve vícerozměrové (mnohadimenzionální) geometrii a pro analýzu vícerozměrných dat.

Pro zobrazení souboru bodů v n-rozměrném prostoru tvoří pozadí n rovnoběžných čar, které jsou obvykle vertikální a od sebe stejně vzdálené. Bod v n-rozměrném prostoru je reprezentován jako lomená čára s vrcholy na rovnoběžných osách, poloha bodu na i-té ose odpovídá i-té souřadnici bodu.

Historie

Rovnoběžné souřadnice vynalezl v roce 1885 Philbert Maurice d'Ocagne.[1] Nezávisle byly znovu objeveny a popularizovány Al Inselbergem[2] v roce 1959 a od roku 1977 se systematicky rozvinuly jako souřadnicový systém. Tyto souřadnice jsou využívány v některých důležitých aplikacích jako např. v algoritmech pro zabránění střetů objektů v řízení letového provozu (1987 – 3 USA patent), dolování dat (USA patent), počítačové vidění (USA patent), optimalizace, řízení procesů a v poslední době i odhalení narušení atd.

Vyšší rozměry

Pokud se do rovnoběžných souřadnic (často zkráceno II-souřadnice nebo PS) přidají další rozměry, je třeba přidat také další osy. Hodnota rovnoběžných souřadnic spočívá v tom, že určité geometrické vlastnosti v mnohodimenzionálním prostoru lze transformovat do dobře viditelných dvourozměrných vzorců. Například množina bodů ležící na přímce v n-prostoru se transformuje na soubor lomených čar (nebo křivek) v rovnoběžných souřadnicích, které se všechny protínají v n − 1 bodech. Pro n=2 tak vyniká dualita bod-čára, která ukazuje, proč se matematické základy paralelních souřadnic rozvíjejí v projektivním a nikoli v Eukleidově prostoru. Známé jsou také modely, které odpovídají (hyper)plochám, křivkám, hladkým (hyper)plochám, proximitě, konvexitě a non-orientabilitě.[3] Při přeměně mapy od k-dimenzionálních dat na nižší 2D prostor je očekávána ztráta některých informací. Ztráta informací může být měřena pomocí Parsevalovy totožnosti (nebo energetickou normou).

Statistické úvahy

Při použití vizualizace statistických dat existují tři důležité aspekty: pořadí, rotace a měřítko os.

Pořadí os je rozhodující pro zjištění funkce, v typické analýze dat bude nutné vyzkoušet mnoho změn pořadí. Někteří autoři přišli s uspořádáním heuristiky, kdy mohou vytvářet instruktivní uspořádání.[4]

Otáčení osy je překlad do paralelních souřadnic,když linie protíná vnějšek rovnoběžné osy, může být přenesen mezi nimi otáčkami. Nejjednodušším příkladem je otáčení osy o 180°.[5]

Nutnost měřítka vyplývá ze skutečnosti, že děj je založen na interpolaci (lineární kombinace) po sobě jdoucích párů veličin.[5] Z tohoto důvodu musí být proměnné v určitém měřítku, existuje mnoho metod pro nastavení velikosti, které mají být považovány za součást data-procesu přípravy a mohou odhalit více informativních názorů.

Hladké vykreslení paralelních souřadnic je dosaženo s drážkováním.[6] V hladkém vykreslení je mapováno každé pozorování do parametrické linie (nebo křivky), která je hladká, spojitá na osách a kolmá ke každé paralelní ose. Tento návrh klade důraz na kvantizační úroveň pro všechny atributy dat.[5] Pokud někdo používá Fourierovu interpolaci stupně dimenzionality dat, pak je dosažen Andrewsův graf.[7]

Čtení

Inselberg (Inselberg 1997) vytvořil úplný přehled o tom, jak číst z rovnoběžných souřadnic v relačních modelech.[8] Když většina linií mezi dvěma rovnoběžnými osami jsou rovnoběžné s nimi, naznačují pozitivní vztah mezi těmito dvěma dimenzemi. Když se linie kříží v superpozici X-tvarů, jedná se o negativní vztah. Pokud se linie kříží náhodně nebo jsou rovnoběžné, není zde žádný zvláštní vztah.

Software

Zatímco existuje mnoho článků o rovnoběžných souřadnicích, existuje jen málo významných softwarů, které jsou veřejně k dispozici pro převod paralelních souřadnic grafiky.[9] Významné softwary jsou Parvis, XDAT, Mondrian, GGobi a Macrofocus High-D. Knihovny zahrnující Protovis.js[10] D3.js,[11][12] poskytují základní příklady, zatímco složitější příklady jsou k dispozici v knihovnách D3.Parcoords.js[13][14][15] (knihovna na bázi D3) a Macrofocus High-D API (Java knihovna), které jsou určené speciálně pro II-souřadnice k publikování grafické tvorby.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Parallel coordinates na anglické Wikipedii.

  1. ↑ D'OCAGNE, Maurice. Coordonnées parallèles et axiales : Méthode de transformation géométrique et procédé nouveau de calcul graphique déduits de la considération des coordonnées parallèles. [s.l.]: Paris: Gauthier-Villars, 1885. Je zde použita šablona {{Cite book}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.
  2. ↑ INSELBERG, Alfred. The Plane with Parallel Coordinates. Visual Computer. 1985, s. 69–91. DOI 10.1007/BF01898350. Je zde použita šablona {{Cite journal}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.
  3. ↑ INSELBERG, Alfred. Parallel Coordinates: VISUAL Multidimensional Geometry and its Applications. [s.l.]: Springer, 2009. ISBN 978-0387215075. Je zde použita šablona {{Cite book}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.
  4. ↑ YANG, Jing; PENG, Wei; WARD, Matthew O.; RUNDENSTEINER, Elke A. Interactive Hierarchical Dimension Ordering Spacing and Filtering for Exploration of High Dimensional Datasets. IEEE Symposium on Information Visualization (INFOVIS 2003). 2003, s. 3–4. Dostupné online. Je zde použita šablona {{Cite journal}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.
  5. ↑ a b c MOUSTAFA, Rida; WEGMAN, Edward J. Graphics of Large Datasets: Visualizing a Million. Redakce Unwin, A.; Theus, M.; and Hofmann, H. (Eds.). [s.l.]: Springer, 2006. ISBN 978-0387329062. Kapitola Multivariate continuous data – Parallel Coordinates, s. 143–156. Je zde použita šablona {{Cite book}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.
  6. ↑ MOUSTAFA, Rida; WEGMAN, Edward J. On Some Generalizations of Parallel Coordinate Plots. Seeing a million, A Data Visualization Workshop, Rain am Lech (nr.), Germany. 2002. Dostupné v archivu pořízeném dne 2013-12-24. Je zde použita šablona {{Cite journal}} označená jako k „pouze dočasnému použití“. Archivovaná kopie. herakles.zcu.cz [online]. [cit. 2013-12-23]. Dostupné v archivu pořízeném z originálu dne 2013-12-24. 
  7. ↑ ANDREWS, David F. Plots of High-Dimensional Data. International Biometric Society. 1972, s. 125–136. JSTOR 2528964. Je zde použita šablona {{Cite journal}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.
  8. ↑ INSELBERG, A. Information Visualization, 1997. Proceedings., IEEE Symposium on. [s.l.]: [s.n.], 1997. Dostupné online. Kapitola Multidimensional detective, s. 100–107. Je zde použita šablona {{Citation}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.
  9. ↑ KOSARA, Robert. Parallel Coordinates [online]. 2010. Dostupné online. Je zde použita šablona {{Cite web}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.
  10. ↑ BOSTOCK, Mike. Protovis.js: Parallel Coordinates [online]. 2011 [cit. 2013-12-23]. Dostupné v archivu pořízeném dne 2013-01-30. Je zde použita šablona {{Cite web}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.
  11. ↑ BOSTOCK, Mike. D3.js: Parallel Coordinates [online]. 2012 [cit. 2013-12-23]. Dostupné v archivu pořízeném dne 2013-01-28. Je zde použita šablona {{Cite web}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.
  12. ↑ DAVIES, Jason. Parallel%20Coordinates [online]. 2011. Dostupné online. Je zde použita šablona {{Cite web}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.
  13. ↑ CHANG, Kai. Nutrient Contents - Parallel Coordinates [online]. 2012. Dostupné online. Je zde použita šablona {{Cite web}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.
  14. ↑ http://bl.ocks.org/syntagmatic
  15. ↑ CHANG, Kai. Parallel Coordinates (beta) [online]. 2012 [cit. 2013-12-23]. Dostupné v archivu pořízeném dne 2013-01-29. Je zde použita šablona {{Cite web}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.

Literatura

  • Heinrich, Julian and Weiskopf, Daniel (2013) State of the Art of Parallel Coordinates, Eurographics 2013 – State of the Art Reports, pp. 95–116
  • Moustafa, Rida (2011) Parallel coordinate and parallel coordinate density plots, Wiley Interdisciplinary Reviews: Computational Statistics. Vol 3(2), pp. 134–148.

Externí odkazy

  • Alfred Inselberg's Homepage, with Visual Tutorial, History, Selected Publications and Applications
  • An Investigation of Methods for Visualising Highly Multivariate Datasets by C. Brunsdon, A. S. Fotheringham & M. E. Charlton, University of Newcastle, UK
  • Parallel coordinates plot in GGobi
  • Parallel coordinates plot in the public-domain software package XmdvTool Archivováno 10. 10. 2014 na Wayback Machine.
  • Using Curves to Enhance Parallel Coordinate Visualisations by Martin Graham & Jessie Kennedy, Napier University, Edinburgh, UK
  • Clustergram: A graph for visualizing cluster analyses based on the Parallel Coordinates of each observations cluster mean over the number of potential clusters (implemented in R).
  • XDAT – a free GPL JAVA-based software for plotting parallel coordinates.
  • Parallel Coordinates, a tutorial by Robert Kosara
  • High-D A multi-platform commercial tool for creating parallel coordinates visualizations (with examples)
  • Parallel coordinates plot in Omniscope