Unitární matice je čtvercová komplexní matice A , jejíž hermitovsky sdružená matice je současně maticí inverzní , tj.
A − 1 = A H , a tedy A H A = A A H = I , kde A H = A ¯ T {\displaystyle A^{-1}=A^{H},\qquad {\text{a tedy}}\qquad A^{H}A=AA^{H}=I,\qquad {\text{kde}}\qquad A^{H}={\bar {A}}^{T}} a I {\displaystyle I} je jednotková matice .
Unitární matice jsou příkladem normálních matic . Reálná unitární matice je ortogonální .
Unitární matice reprezentují unitární transformaci komplexního vektorového prostoru vzhledem k ortonormální bázi.
Množina všech unitárních matic n × n {\displaystyle n\times n} tvoří grupu, která se nazývá unitární a značí U ( n ) {\displaystyle U(n)}
Dvojrozměrné matice Libovolnou unitární 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} matici U {\displaystyle U} lze parametrizovat různým způsobem. Matici lze například vyjádřit jako součin tří matic a komplexního prefaktoru způsobem[1]
U = e i α ( e − i β / 2 0 0 e i β / 2 ) ( cos ( γ 2 ) − sin ( γ 2 ) sin ( γ 2 ) cos ( γ 2 ) ) ( e − i δ / 2 0 0 e i δ / 2 ) = e i α ( cos ( γ 2 ) e − i 2 ( β + δ ) − sin ( γ 2 ) e i 2 ( − β + δ ) sin ( γ 2 ) e i 2 ( β − δ ) cos ( γ 2 ) e i 2 ( β + δ ) ) {\displaystyle U=e^{i\alpha }{\begin{pmatrix}e^{-i\beta /2}&0\\0&e^{i\beta /2}\end{pmatrix}}\ {\begin{pmatrix}\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)&-\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)&\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\end{pmatrix}}\ {\begin{pmatrix}e^{-i\delta /2}&0\\0&e^{i\delta /2}\end{pmatrix}}=e^{i\alpha }\,{\begin{pmatrix}\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)e^{-{\frac {i}{2}}(\beta +\delta )}&-\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)e^{{\frac {i}{2}}(-\beta +\delta )}\\\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)e^{{\frac {i}{2}}(\beta -\delta )}&\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)e^{{\frac {i}{2}}(\beta +\delta )}\end{pmatrix}}} , kde α , β , γ , δ {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta } jsou reálná čísla .
Trojrozměrné matice Libovolnou unitární 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} matici U {\displaystyle U} lze parametrizovat různým způsobem, viz např. [2] . V takovéto parametrizaci lze obecnou unitární matici zapsat ve tvaru:
U = e i α ( e i φ 1 cos ( θ 1 ) cos ( θ 2 ) e i φ 3 sin ( θ 1 ) e i φ 4 sin ( θ 2 ) cos ( θ 1 ) e i ( − φ 4 − φ 5 ) sin ( θ 2 ) sin ( θ 3 ) − e i ( φ 1 + φ 2 − φ 3 ) sin ( θ 1 ) cos ( θ 2 ) cos ( θ 3 ) e i φ 2 cos ( θ 1 ) cos ( θ 3 ) − e i ( φ 2 − φ 3 + φ 4 ) sin ( θ 1 ) sin ( θ 2 ) cos ( θ 3 ) − e i ( − φ 1 − φ 5 ) sin ( θ 3 ) cos ( θ 2 ) − e i ( − φ 2 − φ 4 ) sin ( θ 2 ) cos ( θ 3 ) − e i ( φ 1 − φ 3 + φ 5 ) sin ( θ 1 ) sin ( θ 3 ) cos ( θ 2 ) e i φ 5 sin ( θ 3 ) cos ( θ 1 ) e i ( − φ 1 − φ 2 ) cos ( θ 2 ) cos ( θ 3 ) − e i ( − φ 3 + φ 4 + φ 5 ) sin ( θ 1 ) sin ( θ 2 ) sin ( θ 3 ) ) , {\displaystyle U=e^{i\alpha }\left({\begin{array}{ccc}e^{i\varphi _{1}}\cos \left(\theta _{1}\right)\cos \left(\theta _{2}\right)&e^{i\varphi _{3}}\sin \left(\theta _{1}\right)&e^{i\varphi _{4}}\sin \left(\theta _{2}\right)\cos \left(\theta _{1}\right)\\e^{i\left(-\varphi _{4}-\varphi _{5}\right)}\sin \left(\theta _{2}\right)\sin \left(\theta _{3}\right)-e^{i\left(\varphi _{1}+\varphi _{2}-\varphi _{3}\right)}\sin \left(\theta _{1}\right)\cos \left(\theta _{2}\right)\cos \left(\theta _{3}\right)&e^{i\varphi _{2}}\cos \left(\theta _{1}\right)\cos \left(\theta _{3}\right)&-e^{i\left(\varphi _{2}-\varphi _{3}+\varphi _{4}\right)}\sin \left(\theta _{1}\right)\sin \left(\theta _{2}\right)\cos \left(\theta _{3}\right)-e^{i\left(-\varphi _{1}-\varphi _{5}\right)}\sin \left(\theta _{3}\right)\cos \left(\theta _{2}\right)\\-e^{i\left(-\varphi _{2}-\varphi _{4}\right)}\sin \left(\theta _{2}\right)\cos \left(\theta _{3}\right)-e^{i\left(\varphi _{1}-\varphi _{3}+\varphi _{5}\right)}\sin \left(\theta _{1}\right)\sin \left(\theta _{3}\right)\cos \left(\theta _{2}\right)&e^{i\varphi _{5}}\sin \left(\theta _{3}\right)\cos \left(\theta _{1}\right)&e^{i\left(-\varphi _{1}-\varphi _{2}\right)}\cos \left(\theta _{2}\right)\cos \left(\theta _{3}\right)-e^{i\left(-\varphi _{3}+\varphi _{4}+\varphi _{5}\right)}\sin \left(\theta _{1}\right)\sin \left(\theta _{2}\right)\sin \left(\theta _{3}\right)\\\end{array}}\right),} kde 0 ≤ θ 1 , θ 2 , θ 3 ≤ π / 2 {\displaystyle 0\leq \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}\leq \pi /2} a 0 ≤ α , φ 1 , φ 2 , φ 3 ≤ 2 π {\displaystyle 0\leq \alpha ,\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3}\leq 2\pi } . Pokud α = 0 {\displaystyle \alpha =0} odpovídá výše uvedená parametrizace maticím z SU(3), které mají determinant roven jedné.
Související články
Reference ↑ NIELSEN, Michael A. Quantum computation and quantum information . 10th anniversary ed. vyd. Cambridge: Cambridge University Press xxxi, 676 pages s. Dostupné online. ISBN 978-1-107-00217-3 , ISBN 1-107-00217-6 . OCLC 665137861 ↑ BRONZAN, J. B. Parametrization of SU(3). Physical Review D . 1988-09-15, roč. 38, čís. 6, s. 1994–1999. Dostupné online [cit. 2024-01-10]. DOI 10.1103/PhysRevD.38.1994. Pahýl Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.