Ein adischer Raum ist in der algebraischen Geometrie eine Verallgemeinerung von formalen Schemata und rigid-analytischen Räumen. Adische Räume wurden 1993 von Roland Huber eingeführt.[1] Seit 2012 rückten adische Räume durch die Entwicklung perfektoider Räume von Peter Scholze ins Zentrum aktueller Forschung.[2]
Wir fassen zuerst die umfangreiche Definition von adischen Räumen in Einzelschritten zusammen. Sie läuft im Wesentlichen analog zur Definition von Schemata.
- Die Grundbausteine von adischen Räumen sind durch Huber-Paare gegeben. Das sind bestimmte Paare topologischer Ringe
, wobei
ein mit der Teilraumtopologie ausgestatteter Teilring ist. - Jedem Huber-Paar
wird ein adisches Spektrum
zugeordnet. Es besteht aus einem topologischen Raum
, einer Prägarbe topologischer Ringe
, deren Halme lokale Ringe sind, und einer Familie
von Äquivalenzklassen von Bewertungen auf
. - Wir definieren eine Kategorie von Tripeln
, die wir mit
bezeichnen. In diesem Kontext definieren wir Einschränkung auf offene Teilmengen von
. - Ein adischer Raum ist schließlich ein Objekt aus
, das eine Überdeckung durch adische Spektren hat.
Bewertungstheorie
Eine nicht-archimedische Bewertung
eines topologischen Ringes
mit Bewertungsgruppe
ist stetig, wenn für alle
die Teilmenge
offen in
ist.[3]
Huber-Paare
Ein Huber-Paar ist ein Paar
, wobei
ein topologischer Ring und
ein Teilring ist, sodass die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:
ist ein Huber-Ring.
ist offen in
.
ist ganzabgeschlossen in
. - Jedes Element von
ist potenzbeschränkt (in
).
Lokalisierungen
Sei
ein Huber-Ring. Wir definieren nun eine Art von topologischer Lokalisierung von
, mithilfe derer später eine Strukturprägarbe definiert werden kann.
Sei dazu
und sei
, sodass
offen in
ist.
Auf der algebraischen Lokalisierung
definieren wir eine Topologie wie folgt.
Sei
ein Definitionspaar für
. Definiere einen Teilring
![{\displaystyle D:=A_{0}[{\tfrac {t_{1}}{s}},\dots ,{\tfrac {t_{n}}{s}}]\subseteq A_{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a2ef3c5195c0fb3709ee3e79f64cf8faead7efd)
Die Familie
definiert eine Topologie auf
. Der resultierende topologische Ring werde mit
bezeichnet. Die Vervollständigung von
werde mit
notiert.
Sei nun
ein Huber-Paar. Wir bezeichnen mit
den ganzen Abschluss von
in
ausgestattet mit der Teilraumtopologie von
. Wir bezeichnen die Vervollständigung von
mit
. Das Paar
ist wieder ein Huber-Paar und wird auch Vervollständigung von
genannt.
Adisches Spektrum
Sei
ein Huber-Paar.
Wir definieren eine Menge
![{\displaystyle X:=\{v\in \mathrm {Cont} (A)\mid \forall f\in A^{+}:v(f)\leq 1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5b3f1c43819f3d0ddd71176661e396decda786f)
wobei
die Menge der stetigen Bewertungen von
ist.[4]
Für
und eine endliche Teilmenge
, sodass
offen ist, sei
![{\displaystyle R({\tfrac {T}{s}}):=\{v\in X\mid \forall t\in T:v(t)\leq v(s)\neq 0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c36bf7eda35e271a815f81feec4969a8c98ee0a)
die zugehörige rationale Teilmenge.[5] Von den rationalen Teilmengen werde eine Topologie auf
erzeugt.
Durch
![{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(R({\tfrac {T}{s}})):=A\langle {\tfrac {T}{s}}\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f025a269e59b327bd49b2d6159f2956e5f7ee4c8)
ist eine Prägarbe vollständiger topologischer Ringe auf den rationalen Teilmengen von
definiert.[6]
Für eine beliebige offene Teilmenge
definieren wir
![{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(V):=\lim \limits _{U\subseteq V}{\mathcal {O}}_{X}(U)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfdb21b9855b230832874b28e6054c98a47e5f67)
Hierbei durchläuft
alle rationalen Teilmengen von
und der Limes werde mit der Limes-Topologie ausgestattet. Das definiert eine Prägarbe
vollständiger topologischer Ringe auf
.
Jede Bewertung
mit
lässt sich auf eindeutige Weise auf die abstrakte Lokalisierung
zu einer Bewertung
fortsetzen.
Das adische Spektrum von
ist das Tripel
und wird mit
bezeichnet.
Ist
eine Garbe topologischer Ringe, so nennen wir
garbig.
Die Kategorie von Tripeln
Die Kategorie adischer Räume wird als volle Unterkategorie einer Kategorie
definiert.
Die Objekte von
sind Tripel
, sodass folgendes gilt:[7]
ist ein topologischer Raum.
ist eine Garbe vollständiger topologischer Ringe auf
. - Für alle
ist der Halm
von
in
ein lokaler Ring. - Für alle
ist
ist eine Äquivalenzklasse von Bewertungen von
, sodass der Träger
das maximale Ideal von
ist.
Ein Morphismus
ist ein Paar
, sodass:
ist eine stetige Abbildung.
ist ein Morphismus von Prägarben topologischer Ringe. Das bedeutet, dass für alle offenen Teilmengen
der Ringhomomorphismus
stetig ist. - Für alle
gilt
für den von
induzierten Ringhomomorphismus
. Beachte, dass die Gleichheit sinnvoll ist, da
eine eindeutige Äquivalenzklasse von Bewertungen auf
bezeichnet.
Aus der letzten Bedingung folgt, dass
ein lokaler Homomorphismus ist.
Die Verkettung zweier Morphismen
und
ist durch
gegeben.
Sei
eine offene Teilmenge. Dann definieren wir die Einschränkung
durch
.
Adische Räume
Ein affinoider adischer Raum ist ein Objekt von
, das isomorph zu
für ein garbiges Huber-Paar
ist.[8]
Ein adischer Raum ist ein Objekt
von
, das eine offene Überdeckung
besitzt, sodass
für alle
ein affinoider adischer Raum ist.[9]
Übergangsfunktoren
Es gibt einen kanonischen Funktor
von der Kategorie der garbigen formalen Schemata in die Kategorie der adischen Räume.[10] Dieser ist volltreu auf der vollen Unterkategorie lokal noetherscher formaler Schemata.[11]
Literatur
- Roland Huber: A generalization of formal schemes and rigid analytic varieties, Springer-Verlag 1994, Math. Z. 217, 513–551 (1994).
- Torsten Wedhorn: Adic Spaces, Arxiv
Einzelnachweise
- ↑ Roland Huber: A generalization of formal schemes and rigid analytic varieties, Springer-Verlag 1994, Math. Z. 217, 513–551 (1994).
- ↑ Peter Scholze: Perfectoid spaces. In: Publications mathématiques de l’IHÉS. Band 116, Nr. 1. Springer, November 2012, S. 245–313, doi:10.1007/s10240-012-0042-x, arxiv:1111.4914 (englisch).
- ↑ Wedhorn: Def. 7.7
- ↑ Wedhorn: Def. 7.23
- ↑ Wedhorn: Def. 7.29
- ↑ Wedhorn: Prop. 8.2
- ↑ Wedhorn: §8
- ↑ Wedhorn: Def. 8.21
- ↑ Wedhorn: Def. 8.22
- ↑ Wedhorn: Remark 9.35
- ↑ Wedhorn: Proposition 9.39