Bernstein-Funktion

Eine Bernstein-Funktion ist eine nicht-negative glatte Funktion, deren Ableitungen ein alternierendes Vorzeichen haben, das heißt sie sind komplett-monoton. Sie haben ihren Ursprung in der Potentialtheorie, werden aber auch in der Funktionalanalysis und der Stochastik untersucht. Sie tauchen insbesondere im Zusammenhang mit der Subordination von C 0 {\displaystyle C_{0}} -Halbgruppen auf Banach-Räumen oder lokalkonvexen Räumen auf, da der infinitesimale Erzeuger einer subordinierten Gruppe durch solche Funktionen mit dem Erzeuger der ursprünglichen Halbgruppe beschrieben werden kann.[1]

Durch die Lévy-Khinchin-Formel können Bernstein-Funktionen eindeutig durch ein Lévy-Tripel ( a , b , μ ) {\displaystyle (a,b,\mu )} charakterisiert werden.

Die Bernstein-Funktionen sind nach Sergei Natanowitsch Bernstein benannt, sie sind aber auch unter vielen weiteren Namen bekannt, darunter Laplace-Exponenten oder negativ-definite Funktionen.

Bernstein-Funktion

Eine Funktion f : ( 0 , ∞ ) → [ 0 , ∞ ) {\displaystyle f:(0,\infty )\to [0,\infty )} ist eine Bernstein-Funktion, falls

  • f ∈ C ∞ ( 0 , ∞ ) {\displaystyle f\in C^{\infty }(0,\infty )} ist,
  • ( − 1 ) n − 1 f ( n ) ( λ ) ≥ 0 {\displaystyle (-1)^{n-1}f^{(n)}(\lambda )\geq 0} für alle n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } und λ > 0 {\displaystyle \lambda >0} gilt.[2]

Lévy-Khinchin-Darstellung

Folgendes ist äquivalent:

  • f {\displaystyle f} ist eine Bernstein-Funktion.
  • Es existiert ein eindeutiges Lévy-Tripel ( a , b , μ ) {\displaystyle (a,b,\mu )} , d. h. es existieren zwei Konstanten a , b ≥ 0 {\displaystyle a,b\geq 0} und ein positives Radonmaß μ {\displaystyle \mu } auf ( 0 , ∞ ) {\displaystyle (0,\infty )} mit
∫ ( 0 , ∞ ) ( 1 ∧ t ) μ ( d t ) < ∞ , {\displaystyle \int _{(0,\infty )}(1\wedge t)\mu (\mathrm {d} t)<\infty ,}

so dass

f ( λ ) = a + b λ + ∫ ( 0 , ∞ ) ( 1 − e − λ t ) μ ( d t ) {\displaystyle f(\lambda )=a+b\lambda +\int _{(0,\infty )}(1-e^{-\lambda t})\mu (\mathrm {d} t)}

für alle λ > 0 {\displaystyle \lambda >0} . Letztere Darstellung nennt man Lévy-Khinchin-Darstellung.[2]

Literatur

  • René L. Schilling, Renming Song und Zoran Vondracek: Bernstein Functions: Theory and Applications. Hrsg.: De Gruyter. Berlin, Boston 2012, doi:10.1515/9783110269338. 

Einzelnachweise

  1. ↑ Karsten Kruse, Jan Meichsner und Christian Seifert: Subordination for sequentially equicontinuous equibounded C 0 {\displaystyle C_{0}} -semigroups. In: Springer Science and Business Media (Hrsg.): Journal of Evolution Equations. Band 21, Nr. 2, 2021, S. 2665--2690, doi:10.1007/s00028-021-00700-7. 
  2. ↑ a b René L. Schilling, Renming Song und Zoran Vondracek: Bernstein Functions: Theory and Applications. Hrsg.: De Gruyter. Berlin, Boston 2012, S. 21, doi:10.1515/9783110269338.