Dirichlet-to-Neumann-Operator

Der Dirichlet-to-Neumann-Operator (auch Poincaré-Steklow-Operator genannt) ist in der Theorie der elliptischen partiellen Differentialgleichungen ein elliptischer, selbstadjungierter Pseudodifferentialoperator der Ordnung ${\displaystyle 1}$, der die Dirichlet-Randbedingungen auf die Neumann-Randbedingungen abbildet. Im einfachen Fall bildet der Operator eine auf dem Rand einer kompakten, glatten Mannigfaltigkeit glatte Funktion auf die äußere Normalenableitung der harmonischen Erweiterung ab.

Der Operator taucht in diversen inversen Problemen auf. Die Eigenwerte des Operators nennt man Steklow-Eigenwerte (nach Wladimir Andrejewitsch Steklow).^[1]

Sei ${\displaystyle \Omega }$ eine glatte, kompakte Mannigfaltigkeit der Dimension ${\displaystyle n}$ mit Rand ${\displaystyle \partial \Omega }$. Für eine Funktion ${\displaystyle f\in C^{\infty }(\partial \Omega )}$ ist ${\displaystyle {\widetilde {f}}\in C^{\infty }({\overline {\Omega }})}$ die harmonische Erweiterung, das heißt, es gilt ${\displaystyle \Delta {\widetilde {f}}=0}$ und ${\displaystyle {\widetilde {f}}\mid _{\partial \Omega }=f}$.

Der Dirichlet-to-Neumann-Operator ist der Operator

${\displaystyle {\mathcal {D}}:C^{\infty }(\partial \Omega )\to C^{\infty }(\partial \Omega )}$,

definiert durch

${\displaystyle {\mathcal {D}}f=\partial _{v}({\widetilde {f}})}$,

wobei

${\displaystyle \partial _{v}({\widetilde {f}})=\langle \nabla ({\widetilde {f}})\mid _{\partial \Omega },v\rangle }$

die äußere Normalenableitung ist.

Ersetzt man die Bedingung ${\displaystyle \Delta {\widetilde {f}}=0}$ durch ${\displaystyle \Delta {\widetilde {f}}=\lambda {\widetilde {f}}}$, dann erhält man eine allgemeinere Form des Dirichlet-to-Neumann-Operators, welche mit ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\lambda }}$ notiert wird.^[2]

• Michael E. Taylor: Partial Differential Equations II: Qualitative Studies of Linear Equations. Springer-Verlag, New York 1996, ISBN 978-1-4757-4187-2, S. 41

1. ↑ Alexandre Girouard, Mikhail Karpukhin, Michael Levitin und Iosif Polterovich: The Dirichlet-to-Neumann map, the boundary Laplacian, and Hörmander's rediscovered manuscript. Hrsg.: arXiv. 2021. 
2. ↑ W. Arendt, A. F. M. ter Elst, J. B. Kennedy und M. Sauter: The Dirichlet-to-Neumann operator via hidden compactness. In: J. Funct. Anal. Band 266, 2014, S. 1757 ––1786.