Doob-Martingal

Ein Doob-Martingal ist ein spezieller stochastischer Prozess in der Stochastik. Dem Namen entsprechend gehören Doob-Martingale zur Klasse der Martingale. Doob-Martingale zeichnen sich durch ihre einfache Darstellung aus. Außerdem stehen sie in enger Verbindung zu den Martingalkonvergenzsätzen. Doob-Martingale selbst konvergieren bereits aufgrund ihrer Eigenschaften, die aus der Definition folgen. Die Martingalkonvergenzsätze beantworten dann die Frage, welche Martingale als Doob-Martingale dargestellt werden können.

Die Doob-Martingale sind nach Joseph L. Doob benannt.

Gegeben sei eine Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$, eine Indexmenge ${\displaystyle T\subset \mathbb {N} _{0}}$ sowie eine Filtrierung ${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}}$ in ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ und eine integrierbare Zufallsvariable ${\displaystyle X}$, das heißt ${\displaystyle \operatorname {E} (|X|)<\infty }$.

Dann heißt der stochastische Prozess, der durch

${\displaystyle X_{n}:=\operatorname {E} (X|{\mathcal {F}}_{n})}$

definiert wird, ein Doob-Martingal.

Dabei bezeichnet ${\displaystyle \operatorname {E} (Y|{\mathcal {A}})}$ den bedingten Erwartungswert der Zufallsvariable ${\displaystyle Y}$, gegeben die σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

Die Integrierbarkeit des Doob-Martingals folgt aus

${\displaystyle \operatorname {E} (|X_{n}|)=\operatorname {E} (\left|\operatorname {E} (X|{\mathcal {F}}_{n})\right|)\leq \operatorname {E} (\operatorname {E} (\left|X\right||{\mathcal {F}}_{n}))=\operatorname {E} (|X|)}$

nach der Definition, der Dreiecksungleichung für den bedingten Erwartungswert und der Regel über das Bilden des Erwartungswertes über den bedingten Erwartungswert.

Die Adaptiertheit des Doob-Martingals folgt daraus, das per Definition ${\displaystyle X_{n}=\operatorname {E} (X|{\mathcal {F}}_{n})}$ immer ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$-messbar ist.

Der Nachweis der definierenden Eigenschaft für Martingale folgt aus der Turmeigenschaft des bedingten Erwartungswertes:

${\displaystyle X_{n}=\operatorname {E} (X|{\mathcal {F}}_{n})=\operatorname {E} (\operatorname {E} (X|{\mathcal {F}}_{n})|{\mathcal {F}}_{n+1})=\operatorname {E} (\operatorname {E} (X|{\mathcal {F}}_{n+1})|{\mathcal {F}}_{n})=\operatorname {E} (X_{n+1}|{\mathcal {F}}_{n})}$.

Jedes Doob-Martingal ist immer gleichgradig integrierbar. Dies lässt sich zeigen, indem man von der Zufallsvariable ${\displaystyle X}$, welche gleichgradig integrierbar ist, über ein Kriterium für die gleichgradige Integrierbarkeit, welches konvexe Funktionen verwendet, mittels der Jensenschen Ungleichung für den bedingten Erwartungswert auf die gleichgradige Integrierbarkeit schließt.

Jedes abgeschlossene Martingal ${\displaystyle X=(X_{n})_{n\in T}}$ lässt sich als Doob-Martingal darstellen: Ist ${\displaystyle X_{u}}$ das letzte Element des abgeschlossenen Martingals, so ist

${\displaystyle X_{n}=\operatorname {E} (X_{u}|{\mathcal {F}}_{n})}$ für alle ${\displaystyle n\leq u}$.

Umgekehrt lässt sich jedes Doob-Martingal abschließen. Dazu setzt man ${\displaystyle T'=T\cup u}$ sowie als letztes Element

${\displaystyle X_{u}:=X}$ und ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{u}:={\mathcal {A}}}$,

die σ-Algebra des zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeitsraumes.

Setzt man

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\infty }:=\sigma \left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\mathcal {F}}_{n}\right)}$

so lässt sich aus dem Martingalkonvergenzsatz daraus folgende Aussage ableiten:

Ist ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ein Martingal bezüglich ${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$, so lässt sich ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ genau dann als ein Doob-Martingal bezüglich einer Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ darstellen, wenn eine der beiden folgenden äquivalenten Bedingung erfüllt sind:^[1]

1. ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ist gleichgradig integrierbar
2. ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ Konvergiert im ersten Mittel und fast sicher

Ist dann ${\displaystyle X_{\infty }}$ der Grenzwert von ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$, so gilt

${\displaystyle X_{\infty }=\operatorname {E} (X|{\mathcal {F}}_{\infty })}$

Teilweise wird ein Martingalkonvergenzsatz für Doob-Martingale beziehungsweise für den bedingten Erwartungswert auch als eigenständige Aussage formuliert und dann als Satz von Lévy (nach Paul Lévy) bezeichnet. Er lautet:

Ist ${\displaystyle X}$ eine integrierbare Zufallsvariable, so konvergiert ${\displaystyle \operatorname {E} (X|{\mathcal {F}}_{n})}$ fast sicher und im ersten Mittel gegen ${\displaystyle \operatorname {E} (X|{\mathcal {F}}_{\infty })}$.

Je nach Quelle wird auch gefordert, dass die Zufallsvariable quadratintegrierbar ist. Die Konvergenz ist dann entsprechend im quadratischen Mittel.^[2][3]

• Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, doi:10.1007/978-3-642-45387-8. 

1. ↑ Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 273.
2. ↑ Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, S. 431, doi:10.1007/978-3-642-21026-6. 
3. ↑ A.N. Shiryaev: Martingale. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).