In der Zahlentheorie ist eine doppelte Mersenne-Zahl eine Zahl der Form
, wobei
eine natürliche Zahl und
die
-te Mersenne-Zahl ist.
Beispiele
Die ersten fünf doppelten Mersenne-Zahlen sind die folgenden (Folge A077585 in OEIS):
![{\displaystyle {\begin{aligned}M_{M_{1}}&=&2^{2^{1}-1}-1&=&2^{1}-1&=&M_{1}&=&1\\M_{M_{2}}&=&2^{2^{2}-1}-1&=&2^{3}-1&=&M_{3}&=&7\\M_{M_{3}}&=&2^{2^{3}-1}-1&=&2^{7}-1&=&M_{7}&=&127\\M_{M_{4}}&=&2^{2^{4}-1}-1&=&2^{15}-1&=&M_{15}&=&32767\\M_{M_{5}}&=&2^{2^{5}-1}-1&=&2^{31}-1&=&M_{31}&=&2147483647\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50c764a31943d6f55afc733ca4ef459266f45326)
Eigenschaften
Jede doppelte Mersenne-Zahl ist
ist definitionsgemäß selbst Mersenne-Zahl, nämlich die
-te.
Doppelte Mersenne-Primzahlen
Ist eine doppelte Mersenne-Zahl
eine Primzahl, nennt man sie doppelte Mersenne-Primzahl.
Beispiele
Die ersten vier doppelten Mersenne-Primzahlen sind die folgenden (Folge A077586 in OEIS):
![{\displaystyle {\begin{aligned}M_{M_{2}}&=&2^{2^{2}-1}-1&=&2^{3}-1&=&M_{3}&=&7\\M_{M_{3}}&=&2^{2^{3}-1}-1&=&2^{7}-1&=&M_{7}&=&127\\M_{M_{5}}&=&2^{2^{5}-1}-1&=&2^{31}-1&=&M_{31}&=&2147483647\\M_{M_{7}}&=&2^{2^{7}-1}-1&=&2^{127}-1&=&M_{127}&=&170141183460469231731687303715884105727\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23297d47e41e30c7e36c9a9b0ef747b5c18f4dd8)
Mehr als diese vier sind momentan nicht bekannt.
Eigenschaften
Sei
mit natürlichem
. Dann gilt:
ist nur dann eine Primzahl, wenn auch die Mersenne-Zahl
eine Primzahl ist.
Die Umkehrung gilt nicht: Wenn
eine Primzahl ist, kann
eine Primzahl sein, muss es aber nicht.
Beweis der Behauptung:
- Beweis:
- Zuerst wird folgender Hilfssatz bewiesen:
- Sei die Mersenne-Zahl
eine Primzahl. Dann muss auch
eine Primzahl sein.
- Beweis dieses Hilfssatzes:
- Dieser Beweis funktioniert indirekt, er ist ein Beweis durch Widerspruch:
- Angenommen, dass
keine Primzahl, sondern eine zusammengesetzte Zahl ist. Dann kann man
darstellen als Produkt zweier Zahlen, nämlich
mit
und
. Dann gilt wegen gewissen Formeln für höhere Potenzen: ![{\displaystyle M_{n}=2^{n}-1=2^{ab}-1=(2^{a})^{b}-1=(2^{a}-1)\cdot ((2^{a})^{b-1}+(2^{a})^{b-2}+\ldots +2^{a}+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdd41602079a898ebdc14f3770846942d4531212)
- Somit hat
den nichttrivialen Teiler
und ist keine Primzahl. - Es wurde also gezeigt, dass wenn
keine Primzahl ist, dass auch
keine Primzahl ist. - Somit muss die Annahme fallengelassen werden, dass
keine Primzahl ist. Nur wenn
eine Primzahl ist, kann auch
eine Primzahl sein. ![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
- Nun wird bewiesen, dass die doppelte Mersenne-Zahl
nur dann eine Primzahl ist, wenn auch die Mersenne-Zahl
eine Primzahl ist: - Die doppelte Mersenne-Zahl
ist auch eine Mersenne-Zahl. Somit kann man obigen Hilfssatz direkt anwenden. Es muss also
eine Primzahl sein. ![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
- Bleibt noch zu zeigen, dass die Umkehrung nicht gilt:
- Zu zeigen: wenn
eine Primzahl ist, kann
eine Primzahl sein, muss es aber nicht. - Es reicht ein einziges Gegenbeispiel:
- Sei
. Dann ist
. Diese Zahl hat aber den Primteiler
. Somit ist also
keine Primzahl, ein Gegenbeispiel wurde gefunden. ![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Tabelle
Die folgende Tabelle zeigt an, welche doppelten Mersenne-Zahlen
mit
prim sind, welche nicht und von welchen noch nicht einmal bekannt ist, ob es sich um Primzahlen handelt oder nicht. Dabei ist
eine
-stellige zusammengesetzte Zahl und
ein
-stelliger Restfaktor:
![{\displaystyle p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36) | ![{\displaystyle M_{p}=2^{p}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4bee55ceceb9d1646f41154c116dd040b2ede4d) | ![{\displaystyle M_{M_{p}}=2^{2^{p}-1}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af1ce932f8ed413c53078fa511ef5077f5391481) | Anzahl der Stellen von ![{\displaystyle M_{M_{p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c7701b5775e09cd9d2360ac872867bca8e28f65) | Primzahl? | Faktorisierung von |
2 | ![{\displaystyle M_{2}=2^{2}-1=3\in \mathbb {P} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5438cdba6a63a43516d6d66cf007ebb0a65eea6) | ![{\displaystyle M_{M_{2}}=2^{3}-1=7}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b959adb0517f34b8a19676638c0908b9c68c0496) | 1 | prim | |
3 | ![{\displaystyle M_{3}=2^{3}-1=7\in \mathbb {P} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aeefcf32b22b589fa691c647556f2b520cf8365) | ![{\displaystyle M_{M_{3}}=2^{7}-1=127}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/764bf341b145ace0815cde0cdc70973c3ba82e98) | 3 | prim | |
5 | ![{\displaystyle M_{5}=2^{5}-1=31\in \mathbb {P} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d718b97761f9f4687e2571cda887f0e8a29c874c) | ![{\displaystyle M_{M_{5}}=2^{31}-1=2147483647}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61bd2eda7f2f32a6fda0a45ce465c66be7d6feba) | 10 | prim | |
7 | ![{\displaystyle M_{7}=2^{7}-1=127\in \mathbb {P} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/549aa7c27e91035552a0e09e8d7739e884adfd81) | ![{\displaystyle M_{M_{7}}=2^{127}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66c96eb7432231e66b35c05a7154aaab1764e3ec) | 39 | prim | |
11 | ![{\displaystyle M_{11}=2^{11}-1=2047\not \in \mathbb {P} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d248a8b9b82393e9282de5f6f2d4afb56ce38248) | ![{\displaystyle M_{M_{11}}=2^{2047}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/512a3bc23664c14503a73bfbc7a53ab8ef45a5bc) | 617 | nicht prim | |
13 | ![{\displaystyle M_{13}=2^{13}-1=8191\in \mathbb {P} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d97492b94990b2f518982b020918db83abd1a6d6) | ![{\displaystyle M_{M_{13}}=2^{8191}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8c021c8fd29d6d7303e740ee656ec3668f46b1c) | 2.466 | nicht prim | |
17 | ![{\displaystyle M_{17}=2^{17}-1=131071\in \mathbb {P} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3bbad5a9b38092660fcf15b80fca759e35e5ab0) | ![{\displaystyle M_{M_{17}}=2^{131071}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07ad51d2d559daed669c276f78d73348b3bc7ae4) | 39.457 | nicht prim | |
19 | ![{\displaystyle M_{19}=2^{19}-1=524287\in \mathbb {P} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4ed774b9cead4f864467d3451d2da602203f838) | ![{\displaystyle M_{M_{19}}=2^{524287}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35400adcbd0fbaccade78038b9ba5bda95ef087d) | 157.827 | nicht prim | |
23 | ![{\displaystyle M_{23}=2^{23}-1=8388607\not \in \mathbb {P} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41636c221cb506af4763e9326380b37f90886f04) | ![{\displaystyle M_{M_{23}}=2^{8388607}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f87c1da46d4a845672fe2bec6e3b5fc128cd4857) | 2.525.223 | nicht prim | |
29 | ![{\displaystyle M_{29}=2^{29}-1=536870911\not \in \mathbb {P} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15ff8892bbee61788641d0197649224c9e189f7f) | ![{\displaystyle M_{M_{29}}=2^{536870911}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e01d4c317984b5c24b0a12ab64f3bb5880b6f13c) | 161.614.249 | nicht prim | |
31 | ![{\displaystyle M_{31}=2^{31}-1=2147483647\in \mathbb {P} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b55c24bd90898ca2229a75c422413b2f994aabe) | ![{\displaystyle M_{M_{31}}=2^{2147483647}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3576b9a986f0f22dca5d5d973d77648054e09d50) | 646.456.993 | nicht prim | |
37 | ![{\displaystyle M_{37}=2^{37}-1=137438953471\not \in \mathbb {P} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1caa44adcb3f87058d41eec4b80f6c24cc38fda) | ![{\displaystyle M_{M_{37}}=2^{137438953471}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42d0e33d141855f5e1613cfae8b7105d4993dfc8) | 41.373.247.568 | nicht prim | unbekannt |
41 | ![{\displaystyle M_{41}=2^{41}-1=2199023255551\not \in \mathbb {P} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2990e5e47ff6d11d72ea4048c7f2df7eae5e95e5) | ![{\displaystyle M_{M_{41}}=2^{2199023255551}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07893776d56f71b202e516db098416a46a111eb6) | 661.971.961.084 | nicht prim | unbekannt |
43 | ![{\displaystyle M_{43}=2^{43}-1=8796093022207\not \in \mathbb {P} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8086f8dee6ad57de46f9b11cc77b7c22646d8bd2) | ![{\displaystyle M_{M_{43}}=2^{8796093022207}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60ad68064b47f6548af82733735d9e07c02e29f8) | 2.647.887.844.335 | nicht prim | unbekannt |
47 | ![{\displaystyle M_{47}=2^{47}-1=140737488355327\not \in \mathbb {P} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/508b29dc5d72700bcdfc29db8da581399ab17edd) | ![{\displaystyle M_{M_{47}}=2^{140737488355327}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/049247f0c581b0c2de6f2b1ada31bd24ad9a1e6f) | 42.366.205.509.364 | nicht prim | unbekannt |
53 | ![{\displaystyle M_{53}=2^{53}-1=9007199254740991\not \in \mathbb {P} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76be6e25d71f4dea902e2bc72c579cf4b3db588c) | ![{\displaystyle M_{M_{53}}=2^{9007199254740991}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99b1a80cc56af0d0d64947f1068ac1b92d796628) | 2.711.437.152.599.296 | nicht prim | unbekannt |
59 | ![{\displaystyle M_{59}=2^{59}-1=576460752303423487\not \in \mathbb {P} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73fac709ec389163c67eb97f1aeb7f68f8c354aa) | ![{\displaystyle M_{M_{59}}=2^{576460752303423487}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4180492b7c391e3436b65c56c228d1ac0542c6d) | 173.531.977.766.354.911 | nicht prim | unbekannt |
61 | ![{\displaystyle M_{61}=2^{61}-1=2305843009213693951\in \mathbb {P} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa15392a056003dce73d7d4c96e06416725360cf) | ![{\displaystyle M_{M_{61}}=2^{2305843009213693951}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2baa5879ae722f643c86eaaf8eac94ceb5fc4f1a) | 694.127.911.065.419.642 | unbekannt | kein Primfaktor [1][2] |
Die doppelte Mersenne-Zahl
ist viel zu groß, als dass man einen bekannten Primzahltest (vor allem den auf Mersenne-Zahlen zugeschnittenen Lucas-Lehmer-Test) auf sie anwenden könnte. Daher weiß man nicht einmal, ob sie zusammengesetzt ist oder nicht. Für alle anderen Primzahlen
weiß man ebenfalls noch nicht, ob
prim ist oder nicht. Es wird allerdings vermutet, dass es keine anderen doppelten Mersenne-Primzahlen gibt mit Ausnahme der ersten vier.[3][4]
Catalan-Mersenne-Zahlen
Die folgenden rekursiv definierten Zahlen nennt man Catalan-Mersenne-Zahlen (Folge A007013 in OEIS):
![{\displaystyle {\begin{aligned}C_{0}&=&2\\C_{1}&=&M(2)&=&M_{2}&=&2^{C_{0}}-1&=&2^{2}-1&=M_{2}=3\\C_{2}&=&M(M(2))&=&M_{M_{2}}&=&2^{C_{1}}-1&=&2^{2^{2}-1}-1&=M_{3}=7\\C_{3}&=&M(M(M(2)))&=&M_{M_{M_{2}}}&=&2^{C_{2}}-1&=&2^{2^{2^{2}-1}-1}-1&=M_{7}=127\\C_{4}&=&M(M(M(M(2))))&=&M_{M_{M_{M_{2}}}}&=&2^{C_{3}}-1&=&2^{2^{2^{2^{2}-1}-1}-1}-1&=M_{127}=170141183460469231731687303715884105727\\C_{5}&=&M(M(M(M(M(2)))))&=&M_{M_{M_{M_{M_{2}}}}}&=&2^{C_{4}}-1&=&2^{2^{2^{2^{2^{2}-1}-1}-1}-1}-1&=M_{170141183460469231731687303715884105727}=\ldots \\\ldots \\C_{n}&=&\ldots &=&\ldots &=&2^{C_{n-1}}-1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/845fa430d5176f844d7e286b40aad03e779823f0)
Schon von
weiß man nicht, ob sie prim ist oder nicht, weil sie viel zu groß ist (viel größer als
, welche für bekannte Primzahltests schon viel zu groß ist; sie hat 51.217.599.719.369.681.875.006.054.625.051.616.350 Stellen). Bekannt ist lediglich, dass sie keinen Primfaktor
hat. Allerdings wird vermutet, dass diese Zahl
zusammengesetzt ist. Wenn aber
zusammengesetzt ist, wären alle weiteren
mit
ebenfalls zusammengesetzt, weil schon weiter oben gezeigt wurde, dass
(und
ist eine doppelte Mersenne-Zahl) nur dann eine Primzahl ist, wenn auch
eine Primzahl ist.[5][6]
Der Mathematiker Eugène Charles Catalan hat sich erstmals mit diesen Zahlen beschäftigt, nachdem die Primalität von
von Édouard Lucas im Jahr 1876 bewiesen wurde.[3][7] Er behauptete als erster, dass diese Zahlen bis zu einem gewissen oberen Limit
allesamt prim sind und danach alle weiteren zusammengesetzt.
Eigenschaften
Die Menge der Catalan-Mersenne-Zahlen sind eine Teilmenge der Menge der doppelten Mersenne-Zahlen.[5] Mit anderen Worten: Jede Catalan-Mersenne-Zahl ist auch gleichzeitig eine doppelte Mersenne-Zahl.
Trivia
In der Serie Futurama kommt die doppelte Mersenne-Zahl
in der Folge Die Ära des Tentakels (2008) vor. Sie taucht kurz im Hintergrund auf einer Tafel in einem „elementaren Beweis der Goldbachschen Vermutung“ auf (welche in Wirklichkeit noch nicht bewiesen ist). In dieser Episode wird diese Zahl als martian prime bezeichnet.[5][8]
Weblinks
- Eric W. Weisstein: Double Mersenne Number. In: MathWorld (englisch).
- Eric W. Weisstein: Catalan-Mersenne Number. In: MathWorld (englisch).
- Double Mersennes Prime Search
Einzelnachweise
- ↑ MM61 – A search for a factor of 2261-1-1
- ↑ MM61 – A search for a factor of 2261-1-1 – Listen
- ↑ a b Chris K. Caldwell: Mersenne Primes: History, Theorems and Lists – Conjectures and Unsolved Problems. Prime Pages, abgerufen am 25. Dezember 2018.
- ↑ I. J. Good: Conjectures concerning the Mersenne numbers. (PDF) In: Mathematics of Computation. 1955, S. 120–121, abgerufen am 25. Dezember 2018 (9).
- ↑ a b c Eric W. Weisstein: Catalan-Mersenne Number. In: MathWorld (englisch).
- ↑ Landon Curt Noll: Landon Curt Noll’s prime pages. Abgerufen am 26. Dezember 2018.
- ↑ Eugène Charles Catalan: Frage 92. In: Nouvelle correspondance mathématique – Questions proposées. Imprimeur de l’academie royale de Belgique, 1878, S. 94–96 (französisch); Textarchiv – Internet Archive.
- ↑ Les mathématiques de Futurama – Grands théorèmes. Abgerufen am 26. Dezember 2018 (französisch).