Das Gelfand-Tripel (auch Gelfandscher Dreier, Banach-Gelfand-Tripel oder ausgerüsteter Hilbert-Raum) bezeichnet in der Funktionalanalysis ein Raum-Tripel
bestehend aus einem Hilbert-Raum
, einem Banach-Raum (oder allgemeiner topologischen Vektorraum)
und seinem Dualraum
. Der Raum
wird so gewählt, dass
ein dicht liegender Unterraum von
ist und seine Inklusion stetig ist. Diese Konstruktion hat nun den Vorteil, dass sich Elemente aus
mittels des Darstellungssatzes von Fréchet-Riesz als Elemente des Dualraumes
identifizieren lassen.
Das Gelfand-Tripel ist nach Israel Gelfand benannt.
Definition
Sei
ein separabler Hilbert-Raum und
ein darin dicht liegender topologischer Vektorraum und die Inklusion
sei stetig.
und
bezeichnen die dazugehörigen Dualräume.
Dann gilt die dichte Inklusion
![{\displaystyle V\subset H\subset V^{*},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72f546ce306f156cdfd9fbf31c7e51744f2e67e1)
in dem wir
mit
über die Riesz-Darstellung identifizieren. Das Tripel
nennt man Gelfand-Tripel.
Herleitung im Fall wenn V ein reflexiver Banach-Raum ist
Sei
ein separabler Hilbert-Raum,
ein darin dicht liegender reflexiver Banach-Raum und die Inklusion
sei stetig. Die Separabilität von
garantiert uns die Existenz eines in
dicht liegenden Unterraumes.
Es folgt aus diesen Eigenschaften, dass folgende dichte Inklusion gilt
![{\displaystyle V\subset H\subset V^{*},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72f546ce306f156cdfd9fbf31c7e51744f2e67e1)
in dem wir
mit
identifizieren.
Es gilt nun für alle
![{\displaystyle \langle h,v\rangle _{H}={}_{V^{*}}\langle h,x\rangle _{V}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bc8b6194ea9f81f63e90becc2fe8bdf8b24586e)
wobei die rechte Seite die duale Paarung bezeichnet. Das Tripel
ist ein Gelfand-Tripel.[1]
Herleitung der Inklusion
Es lässt sich zeigen, dass auch
dicht liegt und die Inklusion
stetig ist (folgt direkt aus der Reflexivität von
). Für ein
und
definieren wir die duale Paarung
![{\displaystyle {}_{H^{*}}\langle \varphi ,x\rangle _{H}:=\varphi (x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acebdcaddd862038ce7418b69763480ff9a5573c)
Für jedes
existiert eine eindeutige Riesz-Darstellung
, so dass
![{\displaystyle {}_{H^{*}}\langle \varphi ,x\rangle _{H}=\langle x,h_{\varphi }\rangle _{H}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f7e6af88f6c412b5662365721166dee8f7ef9a2)
für alle
gilt. Deshalb können wir
mit
identifizieren
und daraus folgt die Inklusion
![{\displaystyle V\subset H\subset V^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/713a53b6a029c93734cf2734e77a7fa378661dfd)
und auch
ist stetig.
Beispiele und Anwendungen
- Sei
ein Lp-Raum,
der Schwartz-Raum und
der Raum der temperierten Distributionen. Dann ist das Tripel
ein Gelfand-Tripel. - Seien
die Folgenräume der beschränkten Folgen. Dann ist das Tripel
ein Gelfand-Tripel. - Sei
offen,
ein Lp-Raum. Mit
für
wird der (beschränkte) Sobolew-Raum
und mit
sein Dualraum bezeichnet. Dann ist
ein Gelfand-Tripel.[1] - In der White-Noise-Analysis: sei
der Kondratiew-Raum der stochastischen Test-Funktionen,
der Raum des weißen Rauschen,
der Kondratiew-Raum der stochastischen Distributionen. Dann ist
ein Gelfand-Tripel.
Anwendungen
Sei
das Gelfand-Tripel aus dem vorigen Beispiel. Der Laplace-Operator
ist nicht stetig. Sei
die Fortsetzung des Operators auf dem Gelfand-Tripel mit
, dann ist
stetig.
Negative Norm
Ein Gelfandscher Dreier
erlaubt die Konstruktion einer sogenannten negativen Norm. Die negative Norm eines Elementes
wird durch
![{\displaystyle \|y\|_{-1}:=\sup _{x\in V}{\frac {|\langle x,y\rangle _{H}|}{\|x\|_{V}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27c783c5d0be4e6331d9eb2f15b93f3b9455ee05)
definiert und wir notieren den Dualraum ausgestattet mit dieser Norm als
.
Es lässt sich folgende Ungleichung für
herleiten
![{\displaystyle \|y\|_{-1}\leq K\|y\|_{H}\leq C\|y\|_{V}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e95a0d7bf66426157ae29c36e8a79ae41eeaaba)
für feste Konstanten
.
Literatur
- Hans G. Feichtinger: Banach Gelfand Triples for Applications in Physics and Engineering. In: AIP Conference Proceedings. Band 1146, 2009, doi:10.1063/1.3183542.
- Israel M. Gelfand, Naum Ya. Vilenkin: Generalized Functions: Some Applications of Harmonic Analysis. Rigged Hilbert Spaces. Hrsg.: Academic Press, New York. 1964.
- Monika Dörfler, Hans G. Feichtinger, Karlheinz Gröchenig: Time-Frequency Partitions for Gelfand Triple (S0,L2,S0'). In: Mathematica Scandinavica. Band 98, Nr. 1, 2006, S. 81–96, JSTOR:24493549.
Einzelnachweise
- ↑ a b Claudia Prévôt, Michael Röckner: A Concise Course on Stochastic Partial Differential Equations. In: Springer Berlin, Heidelberg (Hrsg.): Lecture Notes in Mathematics. 2007, S. 55–73, doi:10.1007/978-3-540-70781-3 (englisch).