Geometrische Folge
Eine geometrische Folge ist in der Mathematik eine Zahlenfolge, bei der benachbarte Folgenglieder stets im selben Verhältnis zueinander stehen. Die Summierung der Folgenglieder einer geometrischen Folge ergibt eine geometrische Reihe.
Definition
Enge Definition
Eine Zahlenfolge heißt geometrische Folge, wenn der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant ist, d. h. stets ein und derselben Zahl entspricht. Wird diese Zahl mit („Quotient“) bezeichnet, so gilt also für jeden Folgenindex :[1]
- .
Hierbei muss vorausgesetzt werden, da ansonsten gar nicht für alle Nachbarglieder das Verhältnis existieren würde.[A 1]
Weite Definition
Aus der obigen Gleichung erhält man durch Multiplikation mit den Zusammenhang
- .
Alternativ wird eine geometrische Folge auch durch diese Gleichung definiert.[2][3] Dabei muss der Fall nicht mehr ausgeschlossen werden.
Berechnung
Die Glieder einer geometrischen Folge lassen sich aus dem jeweils vorhergehenden Glied berechnen durch die Rekursionsformel
- .
Alternativ lässt sich jedes Folgenglied auch direkt berechnen. Zur Herleitung einer entsprechenden Formel benutzt man wiederholt die Rekursionsformel und setzt die Zwischenergebnisse ein:
Allgemein erhält man für das Glied einer geometrischen Folge die explizite Formel
- .
Manchmal wird das Anfangsglied auch mit bezeichnet wird. Dann lautet die Formel für das Glied entsprechend
- .
Mithilfe der geschlossenen Formel lässt sich eine geometrische Folge mit Anfangsglied und Quotienten schreiben als .
Zahlenbeispiele
- Die geometrischen Folge mit dem Anfangsglied und dem Quotienten lautet Allgemein ist .
- Die Glieder der geometrischen Folge mit dem Anfangsglied und dem Quotienten lautet Allgemein ist .
- Die konstante Folge ist eine geometrische Folge mit dem Anfangsglied und dem Quotienten .
Anwendungsbeispiele
Die geometrische Folge beschreibt Wachstums- oder Schrumpfungsprozesse, bei denen sich die Messgröße zum Zeitpunkt aus der Messgröße zum Zeitpunkt durch Multiplikation mit einem konstanten Faktor ergibt. Beispiele:
Zinseszins
Bei einem Zinssatz von fünf Prozent vermehrt sich das Kapital jedes Jahr um den Faktor 1,05. Das Kapital entwickelt sich also von Jahr zu Jahr wie die Glieder einer geometrischen Folge mit dem Verhältnis . Die Zahl heißt in diesem Zusammenhang Zinsfaktor. Bei einem Startkapital von 1000 Euro ergibt sich
- nach einem Jahr ein Kapital von
- nach zwei Jahren ein Kapital von
- nach drei Jahren ein Kapital
und so weiter.
Unelastischer Stoß
Ein Ball wird von einer Anfangshöhe auf den Boden fallen gelassen. Nach jedem Aufprall mit dem Boden springt er wieder nach oben, verliert jedoch aufgrund von Reibung einen festen Prozentsatz seiner Sprunghöhe. Dann bilden die Sprunghöhen des Balls nach dem -ten Aufprall eine geometrische Folge mit Anfangsglied und Verhältnis .
Gleichstufige Stimmung
Es gibt mehrere Arten, wie ein Musikinstrument gestimmt werden kann. Eine davon ist die gleichstufige Stimmung. Bei ihr ist das Frequenzverhältnis zwischen zwei benachbarten Tönen immer konstant. Bei zwölf Tönen in der Oktave lautet die Folge hier:
- ,
wobei beispielsweise die Frequenz des Kammertons und die Halbtonschrittentfernung zum Kammerton ist. ist dann die Frequenz des gesuchten Tones mit Halbtonabstand zum „Ursprungston“ .
Der Wachstumsfaktor ist also .
Konvergenz geometrischer Folgen
Bei der Untersuchung des Konvergenzverhaltens einer unendlichen geometrischen Folge müssen verschiedene Fälle unterschieden werden: Für liegt die konstante Folge vor, die gegen den Wert null konvergiert. Für hängt das Konvergenzverhalten von ab:
Fall 1: Für springen die Folgenglieder immer zwischen und hin und her, also divergiert die Reihe.
Fall 2: Für handelt es sich um die konstante Folge , und diese konvergiert gegen .
Fall 3: Ist , so geht wegen jedes Folgenglied durch eine Vergrößerung aus seinem Vorgänger hervor, d. h. die Folgenglieder werden immer größer. Da die Vergrößerung prozentual ist, werden aber auch die Zuwächse immer größer, also muss die Folge divergieren.
Fall 4: Für ist , also für ein (1). Wenn nun gegeben ist, so gibt es nach dem Archimedischen Axiom ein , so dass für alle (2). Aus (1) und (2) folgt zusammen mit der Bernoullischen Ungleichung:
- für alle ,
also
- für alle .
Das bedeutet, dass eine Nullfolge ist. Dann konvergiert aber auch gegen Null.
Namensherkunft
Die Bezeichnung „geometrische Folge“ leitet sich aus dem geometrischen Mittel ab. Jedes Glied einer (positiven) geometrischen Folge (außer dem Anfangsglied) ist nämlich das geometrische Mittel seiner Nachbarglieder:
- .
Folglich ist
Siehe auch
- Arithmetische Folge
- Wachstumsfaktor (Mathematik)
- exponentieller Vorgang
- E-Reihe
- Renard-Serie
Anmerkungen
- ↑ Wäre das konstante Verhältnis einer Folge , so wäre insbesondere , woraus folgen würde. Damit wäre aber schon das Verhältnis wegen des Verbots der Division durch 0 überhaupt nicht definiert.
Quellenverzeichnis
- ↑ Jochen Schwarze: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Band 1: Grundlagen. 12. Auflage. NWB Verlag, Herne / Berlin 2005, ISBN 3-482-51562-X, S. 166.
- ↑ Eric W. Weisstein: Geometric Sequence. MathWorld, abgerufen am 10. November 2019 (englisch).
- ↑ Walter Purkert, Alexander Herzog: Brückenkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. 9. Auflage. Springer Gabler, Wiesbaden 2022, ISBN 978-3-658-36741-1, S. 106.