Immanente

Die Immanente ist eine von Dudley Littlewood und Archibald Richardson definierte Größe einer Matrix. Sie ist eine Verallgemeinerung der Determinante sowie der Permanente.

Sei λ = ( λ 1 , λ 2 , … ) {\displaystyle \lambda =\left(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots \right)} eine Partition von n {\displaystyle n} und χ λ {\displaystyle \chi _{\lambda }} der korrespondierende irreduzible darstellungstheoretische Charakter der symmetrischen Gruppe S n {\displaystyle {\mathfrak {S}}_{n}} . Die Immanente mit dem Charakter χ λ {\displaystyle \chi _{\lambda }} einer n × n {\displaystyle n\times n} -Matrix A = ( a i j ) i j {\displaystyle A=\left(a_{ij}\right)_{ij}} wird definiert als

Imm χ ⁡ ( A ) := ∑ σ ∈ S n χ ( σ ) ∏ i = 1 n a i , σ ( i ) {\displaystyle \operatorname {Imm} _{\chi }(A):=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\chi (\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}}

Die Permanente ist der Spezialfall mit dem trivialen Charakter.

Die Determinante ist der Spezialfall der Immanente mit χ λ = sgn {\displaystyle \chi _{\lambda }=\operatorname {sgn} } , dem alternierenden Charakter.

Beispielsweise gibt es für 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} -Matrizen drei irreduzible Darstellungen von S 3 {\displaystyle {\mathfrak {S}}_{3}} , wie folgende Tabelle zeigt.

S 3 {\displaystyle {\mathfrak {S}}_{3}} e {\displaystyle e} ( 1 2 ) {\displaystyle (1\,2)} ( 1 2 3 ) {\displaystyle (1\,2\,3)}
χ 1 {\displaystyle \chi _{1}} 1 1 1
χ 2 {\displaystyle \chi _{2}} 1 −1 1
χ 3 {\displaystyle \chi _{3}} 2 0 −1

Wie oben erwähnt ergeben χ 1 {\displaystyle \chi _{1}} und χ 2 {\displaystyle \chi _{2}} die Permanente bzw. die Determinante; dagegen erhält man mit χ 3 {\displaystyle \chi _{3}} die Abbildung

Imm χ 3 ⁡ ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ) = 2 a 11 a 22 a 33 − a 12 a 23 a 31 − a 13 a 21 a 32 {\displaystyle \operatorname {Imm} _{\chi _{3}}{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}\quad =\quad 2a_{11}a_{22}a_{33}-a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{21}a_{32}}

Littlewood und Richardson studierten die Zusammenhänge mit Schur-Polynomen.

Belege

  • Dudley Littlewood, Archibald Richardson: Group characters and algebras. In: Philosophical Transactions of the Royal Society A. 233. Jahrgang, Nr. 721–730, 1934, S. 99–124, doi:10.1098/rsta.1934.0015 (englisch). 
  • Dudley Littlewood: The Theory of Group Characters and Matrix Representations of Groups. 2. Auflage. Oxford Univ. Press (Nachdruck bei AMS, 2006), 1950, S. 81 (englisch).