Dieser Artikel befasst sich mit den Jacobischen Thetafunktionen. Für weitere Bedeutungen des Begriffs siehe Thetafunktion (Begriffsklärung).
In der Funktionentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, bilden die Jacobischen Thetafunktionen, benannt nach Carl Gustav Jakob Jacobi, eine spezielle Klasse holomorpher Funktionen zweier komplexer Variablen. Jacobi untersuchte sie als erster systematisch und entwickelte auf dieser Grundlage seine Theorie elliptischer Funktionen. Sie sind ein Spezialfall einer weitaus größeren Klasse von Thetafunktionen mehrerer Veränderlicher, die allgemein aus Gittern in den Räumen konstruiert werden können.
Die Thetafunktionen bilden elliptische Gegenstücke der Exponentialfunktionen bzw. trigonometrischen Funktionen. Wie es für elliptische Funktionen typisch ist, weisen sie eine Art doppelter Periodizität auf entlang der reellen und der imaginären Richtung der komplexen Ebene (Gitterstruktur). Zugleich sind sie als unendliche Reihe sowie als unendliches Produkt darstellbar, deren Summanden beziehungsweise Faktoren in einer Vielzahl von Varianten aus Produkten von Exponential- und Cosinus- oder Sinusfaktoren bestehen.
Die Jacobischen Thetafunktionen spielen eine wichtige Rolle in der Theorie der elliptischen Funktionen, Modulformen, quadratischen Formen und der Modulräume. In der Physik sind sie zudem bei der Lösung der Diffusionsgleichung und bei der Lösung der Wärmeleitungsgleichung, dem sogenannten Wärmeleitungskern, von Bedeutung.
Inhaltsverzeichnis
1Entdeckungsgeschichte
2Definition
2.1Klassische Thetafunktion
2.2Weitere Thetafunktionen
2.3Definition nach Whittaker und Watson
2.4Jacobische Definition vom Theta-Nullwert
3Eigenschaften
3.1Nullstellen
3.2Transformationsformel
3.3Produktdarstellung
3.4Integraldarstellung
3.5Jacobische Identität
3.6Grenzwertbildung
4Zusammenhang mit Modulformen und elliptischen Funktionen
4.1Modulidentitäten der Thetafunktionen
4.2Zusammenhang mit der Dedekindschen Etafunktion
4.3Die Thetafunktion als Modulform zu einer Untergruppe der Modulgruppe
4.4Quotienten von Thetafunktionen
5Erzeugende Funktionen der Partitionszahlenfolgen
5.1Oberpartitionszahlenfolge
5.2Reguläre Partitionszahlenfolge
5.3Strikte Partitionszahlenfolge
5.4Beziehungen der Partitionszahlenfolgen zueinander
6Pochhammersche Produkte
6.1Wichtigste Identitäten von den Pochhammer-Produktreihen
6.2Pentagonalzahlensatz
7Herleitung der Theta-Nullwerte
7.1Identität über die Eulersche Betafunktion
7.2Exemplarische elliptische Integrale
7.3Kombination der Integralidentitäten mit dem Nomen
8Wertelisten der Theta-Nullwertfunktionen
8.1Lemniskatische Werte
8.2Äquianharmonische Werte
8.3Thetafunktionswerte über die Betafunktionswerte der Achtel
8.4Singuläre elliptische Integralwerte
8.5Theta-Nullwert-Ableitungswerte
9Nomentransformationen
9.1Theta-Nullwert-Transformationen bei Nomenpotenzen
9.2Transformation bei der Kubikwurzel vom Nomen
9.3Transformation bei der fünften Wurzel vom Nomen
9.5Transformationen bei den Theta-Nicht-Nullwertfunktionen
10Werte der Nicht-Nullwertfunktionen
10.1Identitäten zur Berechnung einzelner Theta-Nicht-Nullwerte von ϑ₀₀
10.2Explizite Beispiele lemniskatischer Art
10.3Explizite Beispiele nicht lemniskatischer Art
10.4Symmetrieformeln der Theta-Nicht-Nullwertfunktionen
11Ableitungen
11.1Ableitungen der Theta-Nicht-Nullwertfunktionen
11.2Definitionen des Zeta Amplitudinis
11.3Wärmeleitungsgleichung
11.4Ableitungen der Theta-Nullwertfunktionen
12Integrale
12.1Bestimmte Integrale der Theta-Nullwertfunktionen
12.2Zusammenhang mit der Riemannschen Zetafunktion
12.3Zusammenhang mit der Mascheroni-Konstante
12.4Zusammenhang mit der Hurwitzschen Zetafunktion
13Anwendungsbeispiele bei Reihenentwicklungen
13.1Reihen mit Fibonacci-Zahlen und Pell-Zahlen
13.2Reihen mit Potenzen als Summanden
14Fundamentallösung des Laplace-Operators auf dem Rechteck
15Quintische Gleichungen
15.1Lösung der Bring-Jerrard-Form
15.2Erste Beispielrechnung
15.3Zweite Beispielrechnung
15.4Entdeckung der Modulformel durch Hermite
16Kreiszahlformeln nach Ramanujan
17Siehe auch
18Literatur
19Weblinks
20Einzelnachweise
Entdeckungsgeschichte
Eingeführt wurden die Thetafunktionen 1829 von Carl Gustav Jacobi, der diese Funktionen in seinem Buch Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum niederschrieb. Jacobi verwendete für diese Funktionengruppe den griechischen Buchstaben und gab ihr den Namen Thetafunktion. Sie ist bei Jacobi die Grundlage seiner Behandlung elliptischer Funktionen. Jacobi behandelte die Thetafunktionen, die elliptischen Amplitudenfunktionen und andere mehrfach periodische komplexe Funktionen in seinen Vorlesungen[1] an der Albertus-Universität Königsberg und entwickelte diese systematisch. Die Bedeutung der Thetafunktion für die Theorie elliptischer Funktionen erkannte schon Carl Friedrich Gauß insbesondere im Zusammenhang mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel (AGM), er veröffentlichte aber nicht darüber. Die Thetafunktion selbst war in Spezialfällen schon Leonhard Euler und Johann I Bernoulli bekannt[2] und wurde von diesen beiden Mathematikern insbesondere in Bezug auf die Thematik der Summenreihen und Produktreihen behandelt. Weitere Beiträge zur Theorie der Thetafunktion stammten im 19. Jahrhundert insbesondere von Karl Weierstraß, Bernhard Riemann, Ferdinand Georg Frobenius und Henri Poincaré, der die Thetafunktionen in seinen Forschungen über die verallgemeinerten Eisenstein-Reihen analysierte.
Definition
Klassische Thetafunktion
Die klassische Jacobische Thetafunktion ist definiert durch:
Dabei ist und mit der oberen Halbebene. Somit ist die klassische Thetafunktion nach Jacobi als Aufsummierung unendlich vieler Potenzen zur Basis der Eulerschen Zahl und in Abhängigkeit vom Kreisbogenmaß und vom imaginären Halbperiodenverhältnis definiert (der Name Halbperiodenverhältnis stammt aus der Theorie elliptischer Funktionen). Dabei verhält sich der Exponent in Beziehung zum Summenindex quadratisch. Die Reihe ist in normal konvergent. Sie stellt eine in ganz holomorphe Funktion dar. Insbesondere ist für festes , also , eine ganze Funktion, und für festes ist eine auf holomorphe Funktion.
Weitere Thetafunktionen
Funktion ϴ₁ mit Nomen 0,1·exp(0,1·i·π)
Verallgemeinert wird die Thetafunktion so definiert:
Neben der klassischen Thetafunktion findet man in der Literatur vor allem drei weitere Thetafunktionen, die als Spezialfälle der klassischen Thetafunktion aufgestellt werden können. Diese drei weiteren Thetafunktionen entstehen, wenn die Parameter und spezielle Werte erhalten:
Die jacobische Thetafunktion wird in dieser Schreibweise als Θ₃(z,𝜏) bzw. Θ₀,₀(z,𝜏) bezeichnet.
Das Theta-Symbol trägt bei diesen Definitionen unten rechts von sich zwei Indizes, die stets die Werte Null und Eins sind. Der linke Theta-Index bewirkt die Verschiebung des Exponentenindex um den Wert 1/2. Der rechte Theta-Index kündigt die Periodenverschiebung des Kreisbogenmaßes um den Wert π/2 an. Bei diesen unendlichen Produkten verlaufen bezüglich des Produktindex alle Potenzsummanden in exponentieller Abnahme, sodass alle drei gezeigten Produkte für alle reellen Werte und für alle Werte konvergieren. Das elliptische Nomen in Abhängigkeit zum imaginären Halbperiodenverhältnis erfüllt die Gleichung und stellt als rechter Klammereintrag in der Thetafunktion nach Whittaker und Watson die Beziehung zu den großen Thetafunktionen her.
Dabei gilt dieser Zusammenhang:
Im Folgenden werden die Funktionen aus jeweils zwei Abszissen und einer Ordinate graphisch abgebildet:
Funktion - ϑ₁₁
Funktion ϑ₁₀
Funktion ϑ₀₀
Funktion ϑ₀₁
An diesen dreidimensionalen Graphenbildern ist die Tatsache erkennbar, dass die Funktionen ϑ₀₀ und ϑ₀₁ für Nomina 0 ≤ q < 1 stets positive Ordinatenwerte ergeben.
Jacobische Definition vom Theta-Nullwert
Unter dem Theta-Nullwert versteht man jeweils die Thetafunktion für den Wert , also beispielsweise für die jacobische Thetafunktion die Reihe:
Analog gilt mit der Definition nach Whittaker und Watson:
Durch Annullierung des Kreisbogenmaßes im linken Klammereintrag der allgemeinen Thetafunktion entstehen die drei sogenannten standardisierten Theta-Nullwertfunktionen. Bei diesen drei Funktionen hängt die Thetafunktion nur noch vom Nomen ab und somit zählen sie zu den Funktionen aus jeweils nur einer Variablen. Wenn der linke Klammereintrag auf Null gesetzt wird, so wird dieser bei den so entstehenden Theta-Nullwertfunktionen nicht mitgeschrieben und nur der rechte Klammereintrag wird als einziger Eintrag in der Klammer genannt. Durch Einsetzen des annullierten Bogenmaßwertes in die Summendefinition ergeben sich folgende drei Definitionsformeln[6] für die Theta-Nullwertfunktionen:
Bei dieser Schreibweise gibt analog zu den obigen Formeln über die Produktreihendefinitionen die erste tiefgestellte Zahl nach dem Theta die Verschiebung der Exponentenbasis um 1/2 in der Summendarstellung an. Die zweite tiefgestellte Zahl entscheidet über die Alternierung der Vorzeichen in der Summendarstellung. Im Werk Theta Functions and the Arithmetic-Geometric Mean Iteration von den Gebrüdern Borwein wurden die soeben gezeigten Summendefinitionen der drei grundlegenden Theta-Nullwertfunktionen auf der Seite 33 beschrieben. Außerdem gelten für die Quadrate der Thetafunktionen diese Beziehungen unter der Bedingung :
Eigenschaften
Nullstellen
Für festes hat die Thetafunktion einfache Nullstellen an den Stellen
.
Transformationsformel
Die Thetafunktion ist periodisch in beiden Variablen, es gilt:
Dies ist eine Folgerung aus der 1-Periodizität der komplexen Exponentialfunktion . Darüber hinaus gilt die wichtige Transformationsformel
Diese lässt erkennen, dass die Variable modular ist, da sie neben der 2-Periodizität noch ein Gesetz unter der Stürzung erfüllt. Speziell für den Theta-Nullwert ist dies von zentraler Bedeutung, denn dort reduziert sich dies auf
Bei der Wurzel ist dabei jeweils der Hauptzweig zu nehmen, also jener Zweig, der positive Zahlen auf positive Zahlen abbildet.
anzugeben. Ist eine glatte Funktion, deren sämtliche Ableitungen für schnell abklingen, etwa mit exponentieller Geschwindigkeit, so ist diese Reihe absolut konvergent und stellt eine Funktion dar. Für diese offenbar 1-periodische Funktion besagt dann die Poissonsche Summationsformel
wobei
die Fourier-Transformation von ist. Wegen des Erscheinens beider Terme und in einer Formel ist dies von besonderer Bedeutung, wenn eine Funktion ist, die ihre eigene Fourier-Transformierte ist. Dies trifft zum Beispiel auf die Glockenkurve zu. Zusammen mit der allgemeinen Formel , wenn und , die sich schnell durch Substitution ergibt, findet man damit via und ( rein imaginär)
Die Poissonsche Summenformel wird vor allem zu Fourier-analytischen Untersuchungen verwendet. Neben Siméon Poisson erforschten insbesondere Bernhard Riemann und der US-amerikanische Mathematiker Harold Mortimer Edwards Junior diese Thetafunktionsformel.
Produktdarstellung
Die Thetafunktion lässt sich mit Hilfe des jacobischen Tripelproduktes auch als unendliches Produkt darstellen, es gilt:
Speziell für den Theta-Nullwert reduziert sich dies auf
Aus dieser Darstellung folgt insbesondere, dass keine Nullstellen in der oberen Halbebene hat.
Integraldarstellung
Die Thetafunktion besitzt eine Integraldarstellung:
Die zugehörige Theta-Nullwertfunktion hat für positive x-Werte diese Integraldarstellung:
Diese Formel wurde im Aufsatz Square series generating function transformations von der Mathematikerin Maxie Schmidt aus Georgia behandelt.
Jacobische Identität
Die Theta-Nullwerte erfüllen die sogenannte Jacobi-Identität:
Für die analogen Klein-Thetafunktionen gilt dieselbe Identität:
Verallgemeinert[8] kann die Jacobi-Identität auf folgende Theoreme erweitert werden:
Diese Identitäten wurden insbesondere durch Whittaker und Watson erforscht. Exemplarische Abwandlungen dieser beiden Formeln wurden von den Autoren Irene Stegun und Milton Abramowitz in ihr weltbekanntes Handbuch der mathematischen Funktionen eingetragen.
Grenzwertbildung
Graph des Sekans hyperbolicusGaußsche Glockenkurvenfunktion exp(-x²) mit Stammfunktion
Im folgenden wird ein wichtiger Grenzwert der Funktion behandelt:
Zusammenhang mit Modulformen und elliptischen Funktionen
Modulidentitäten der Thetafunktionen
Die grundlegenden modulären Identitäten der Theta-Nullwertfunktionen in Abhängigkeit von der Funktion des elliptischen Nomens[10] beziehungsweise der Jacobischen Entwicklungsgröße lauten so:
An der Gegenüberstellung dieser drei Formeln ist die Jacobische Identität erkennbar. Der Kleinbuchstabe q steht für das elliptische Nomen und diese Funktion wird so definiert:
Der in der Exponentialfunktionsklammer der Definition des elliptischen Nomens gezeigte Quotient aus dem K-Integral des pythagoräisch komplementären Moduls dividiert durch das K-Integral des Moduls selbst wird als reelles Viertelperiodenverhältnis oder auch als reelles Halbperiodenverhältnis bezeichnet. Der Großbuchstabe K selbst bringt das vollständige elliptische Integral erster Art beziehungsweise die jacobische Viertelperiode zum Ausdruck. Das vollständige elliptische Integral erster Art ist eine Funktion in Abhängigkeit von exakt einer Variable. Und diese Variable wird elliptischer Modul oder auch numerische Exzentrizität genannt. Das mit dem großen K bezeichnete vollständige elliptische Integral erster Art kann nach Adrien Marie Legendre mit folgender Summe und mit folgenden Integralen in Abhängigkeit vom Modul ε oder k definiert werden:
für ein festes , so ist die zweite logarithmische Ableitung eine elliptische Funktion zum Gitter . Beispielsweise gilt für die Weierstraßsche ℘-Funktion:
Wenn zu einer gegebenen Zahl alle Partitionen so aufgestellt werden, dass die Summandengröße niemals steigt, und bei jeder so beschaffenen Partition all diejenigen Summanden markiert werden dürfen, die keinen gleich großen Summanden links von sich haben, dann wird die sich dadurch ergebende Anzahl[12] der markierten Partitionen in Abhängigkeit von durch die Oberpartitionsfunktion beschrieben.
Erstes Beispiel:
Diese 14 Möglichkeiten der Partitionsmarkierungen existieren für die Summe 4:
Halblogarithmische Darstellung der Partitionsfunktion
Die reguläre Partitionsfolge selbst gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, auf wie viele Weisen eine positive, ganze Zahl insgesamt in positive, ganze Summanden zerlegt werden kann. Für die Zahlen bis sind die zugehörigen Partitionszahlen mit allen zugehörigen Zahlpartitionen in folgender Tabelle aufgelistet:
Beispielwerte von P(n) und zugehörige Zahlpartitionen
Die erzeugende Funktion der regulären Partitionszahlenfolge kann auf folgende Weise über das Pochhammersche Produkt dargestellt werden:
Strikte Partitionszahlenfolge
Und die strikte Partitionsfolge gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, auf wie viele Weisen eine solche Zahl so in positive ganze Summanden zerlegt werden kann, dass jeder Summand höchstens einmal[13] auftaucht beziehungsweise kein Summandenwert wiederholt vorkommt. Exakt die gleiche Folge[14] entsteht auch dann, wenn in den Partitionssummen nur ungerade Summanden[15] enthalten sind, aber diese auch mehrfach vorkommen dürfen. Beide Darstellungen für die strikte Partitionszahlenfolge werden in der nachfolgenden Tabelle gegenübergestellt:
Beispielwerte von Q(n) und zugehörige Zahlpartitionen
Die erzeugende Funktion der strikten Partitionszahlenfolge kann so über das Pochhammersche Produkt dargestellt werden:
Beziehungen der Partitionszahlenfolgen zueinander
In der Online-Enzyklopädie der Zahlenfolgen beziehungsweise Online Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) ist die Folge der regulären Partitionszahlen unter dem Code A000041, die Folge der strikten Partitionen unter dem Code A000009 und die Folge der Oberpartitionen unter dem Code A015128 verzeichnet. Alle Oberpartitionen ab Index sind gerade.
Die Folge der Oberpartitionen kann mit der regulären Partitionsfolge P[16] und der strikten Partitionsfolge Q[17] so erzeugt werden:
In der folgenden Tabelle der Zahlenfolgen soll diese nun gezeigte Formel exemplarisch angewendet werden:
n
P(n)
Q(n)
0
1
1
1 = 1·1
1
1
1
2 = 1·1 + 1·1
2
2
1
4 = 2·1 + 1·1 + 1·1
3
3
2
8 = 3·1 + 2·1 + 1·1 + 1·2
4
5
2
14 = 5·1 + 3·1 + 2·1 + 1·2 + 1·2
5
7
3
24 = 7·1 + 5·1 + 3·1 + 2·2 + 1·2 + 1·3
Mit dieser Eigenschaft zusammenhängend kann über die Funktion ϑ₀₁ auch folgende Kombination zweier Summenreihen aufgestellt werden:
Pochhammersche Produkte
Wichtigste Identitäten von den Pochhammer-Produktreihen
Srinivasa Ramanujan (श्रीनिवास रामानुजन)Julius Wilhelm Richard Dedekind
Das Nomen-Pochhammer-Symbol ist so definiert:
Für folgendes unendliche Produkt in Darstellung mit dem Pochhammer-Symbol gilt diese Identität:
Dieses Produkt ist zugleich der Kehrwert von der erzeugenden Funktion der strikten Partitionszahlenfolge Q(n) und hat die genannte Identität zu den Theta-Nullwertfunktionen. Srinivasa Ramanujan entdeckte diese Identität zu den Thetafunktionen und schrieb sie in seinem berühmten Werk Modular Equations and Approximations to π nieder.[18] Ebenso wurde dieser Zusammenhang von Julius Wilhelm Richard Dedekind erkannt[19] und in seiner Theorie über die Etafunktion behandelt. Eng verwandt mit dem genannten Produkt ist das Eulersche Pochhammer-Produkt, das der Kehrwert der erzeugenden Funktion von der regulären Partitionszahlenfolge P(n) ist. Für das Eulersche Produkt gilt folgende Identität:[20][19]
Es gilt für die beiden zuletzt genannten Formeln der Gültigkeitsbereich für alle reellen -Werte.
Das Produkt aus diesen beiden Pochhammer-Produkten liefert direkt das Resultat einer Definition:
Pentagonalzahlensatz
Mit Hilfe der Thetafunktion und deren Produktdarstellung lässt sich der Pentagonalzahlensatz beweisen. Der Pentagonalzahlensatz hat diese definierende[21] Identität:
Hierbei gelten für die Fünfeckszahlen und die Kartenhauszahlen diese grundlegenden Definitionen:
Als weitere Anwendung[22] erhält man eine Formel für die dritte Potenz des Euler-Produktes:
Herleitung der Theta-Nullwerte
Identität über die Eulersche Betafunktion
Im Folgenden sollen exemplarisch drei wichtige Thetafunktionswerte hergeleitet werden:
Generell ist für allen natürlichen Zahlen n ∈ ℕ diese Formel über die Eulersche Betafunktion gültig:
Exemplarische elliptische Integrale
Im Folgenden werden einige singuläre elliptische Integralwerte hergeleitet:
Die nun folgende Funktion hat die nachfolgende lemniskatisch elliptische Stammfunktion:
Für den Wert erscheint diese Identität:
Daraus folgt:
Die hier folgende Funktion hat die nachfolgende äquianharmonisch elliptische Stammfunktion:
Für den Wert erscheint jene Identität:
Daraus folgt:
Und die folgende Funktion hat die nachfolgende elliptische Stammfunktion:
Für den Wert erscheint die folgende Identität:
Daraus folgt:
Kombination der Integralidentitäten mit dem Nomen
Diese wichtigen Werte hat die elliptische Nomenfunktion:
Für den Beweis der Richtigkeit dieser Nomenwerte siehe den Artikel Elliptisches Nomen!
Basierend auf diesen Integralidentitäten und den oben genannten Modulidentitäten der Thetafunktionen im gleichnamigen Abschnitt dieses Artikels sollen nun exemplarische Theta-Nullwerte ermittelt werden:
Wertelisten der Theta-Nullwertfunktionen
Lemniskatische Werte
In der folgenden Tabelle werden die lemniskatisch beschaffenen Werte[23] von den Funktionen ϑ₁₀(x) und ϑ₀₀(x) genannt:
Diese beiden Werte können direkt mit der Poissonschen Summenformel ermittelt werden:
Wenn der Kehrwert der Gelfondschen Konstante mit dem Kehrwert einer ungeraden Zahl potenziert wird, dann entstehen Werte mit zugehörigen Thetafunktionswerten, die mit Hilfe des hyperbolisch lemniskatischen Sinus stark vereinfacht dargestellt werden können:
Äquianharmonische Werte
Diese äquianharmonischen Funktionswerte hat die Funktion ϑ₀₀:
Und mit dem griechischen Buchstaben wird die goldene Zahl dargestellt.
Singuläre elliptische Integralwerte
Als Singuläre elliptische Integralwerte und im englischen Sprachraum als Elliptic Integral Singular Values werden diejenigen vollständigen elliptischen Integrale[25] bezeichnet, die als algebraische Kombination von den Gammafunktionswerten rationaler Zahlen dargestellt werden können. Eine solche Darstellung ist dann möglich, wenn der Modulbetrag beziehungsweise Exzentrizitätsbetrag der betroffenen elliptischen Integrale gleich einem elliptischen Lambda-Stern-Wert von einer positiven rationalen Zahl ist. Im nun folgenden sollen basierend auf solchen elliptischen Integralidentitäten weitere Thetafunktionswerte aufgestellt werden:
Folgender Funktionswert kann nicht mit der reduzierten Betafunktion als einzige nicht elementare Funktion dargestellt werden:
Und für die erweiterte Eulersche Betafunktion gilt diese Definition:
Theta-Nullwert-Ableitungswerte
Die Hauptthetanullwert-Ableitungsfunktion ϑ'₀₀(x) ist die Ableitung der Funktion ϑ₀₀(x) bezüglich des Nomens x:
Diese Identität hat die Hauptthetanullwert-Ableitungsfunktion in Bezug auf das vollständige elliptische Integral zweiter Art:
Und folgende Werte hat diese Funktion:
Diese Werte spielen insbesondere in der Theorie über die elliptische Alphafunktion[26] und die elliptische Deltafunktion[27] eine essentielle Rolle.
Nomentransformationen
Theta-Nullwert-Transformationen bei Nomenpotenzen
Zu den Transformationen des Nomens[28] bei den Theta-Nullwertfunktionen dienen diese Formeln:
Nach der Jacobi-Identität werden somit auch durch die Quadrate der drei Theta-Nullwertfunktionen von der Quadratfunktion als innere Funktion pythagoräische Tripel gebildet. Außerdem gelten jene Transformationen:
Transformation bei der Kubikwurzel vom Nomen
Die Formeln für die Theta-Nullwert-Funktionswerte von der Kubikwurzel des elliptischen Nomens kommen durch die Gegenüberstellung der beiden reellen Lösung der korrespondierenden quartischen Gleichungen hervor:
Transformation bei der fünften Wurzel vom Nomen
Auf folgende Weise kann der Rogers-Ramanujan-Kettenbruch in Abhängigkeit von der Jacobischen Thetafunktion definiert werden:
Die alternierende Rogers-Ramanujan-Kettenbruchfunktion S(x) hat die nachfolgenden beiden Identitäten:
Die Thetafunktionswerte von der fünften Wurzel des Nomens können als rationale Kombination der Kettenbrüche R und S und der Thetafunktionswerte von der fünften Potenz des Nomens und vom Nomen selbst dargestellt werden. Die nun folgenden vier Gleichungen sind für alle Werte x zwischen 0 und 1 gültig:
Die Abkürzung sn steht für den Sinus Amplitudinis und die Abkürzung cd stellt den Quotienten des Cosinus amplitudinis dividiert durch das Delta amplitudinis dar. Außerdem gilt für die Nomenkubizierung folgendes Theorem:
Und für die Quintierung gilt folgendes Rechenverfahren:
Und die große reduzierte webersche Modulfunktion soll so definiert sein:
Rechenbeispiele für das Kubizierungstheorem:
Erstes Beispiel:
Zweites Beispiel:
Transformationen bei den Theta-Nicht-Nullwertfunktionen
Zu den Transformationen des Elliptischen Nomens bei den Nicht-Nullwertfunktionen dienen jene Formeln:
Die Formeln für die Quadrierung des Nomens sollen mit Hilfe der Definitionen nach Whittaker und Watson gezeigt werden:
Diese beiden Definitionsformeln werden miteinander multipliziert:
Werte der Nicht-Nullwertfunktionen
Identitäten zur Berechnung einzelner Theta-Nicht-Nullwerte von ϑ₀₀
Wenn der linke Eintrag in der Klammer der Thetafunktion einen Wert des Musters π·t mit t ∈ ℚ annimmt, dann können alle Werte der Funktionen ϑ₀₀, ϑ₀₁ und ϑ₁₀ mit dem hier abgebildeten elliptischen Nomen mit den Jacobifunktionen sn, cn und dn ausgedrückt werden:
Für alle sind folgende Identitäten gültig:
Zur Ermittlung der Werte von ϑ₀₁ aus den Werten von ϑ₀₀ dient diese Symmetriebeziehung:
Zur Ermittlung der Werte von ϑ₁₀ gereichen jene Theoreme:
Symmetrieformeln der Theta-Nicht-Nullwertfunktionen
Für die Funktionen ϑ₀₀, ϑ₀₁ und ϑ₁₀ gelten diese Symmetriebeziehungen:
Der Allgemeinfall der Theta-Nicht-Nullwertfunktionen ϑ₀₀[x;q(k)], ϑ₀₁[x;q(k)] und ϑ₁₀[x;q(k)] kann weder mit den Jacobi-Funktionen sn, cn und dn noch mit den Theta-Nullwertfunktionen noch mit den Kombinationen beider zuletzt genannten Funktionsklassen ausgedrückt werden. Jedoch können sowohl die Jacobi-Funktionen als auch die Theta-Nullwertfunktionen sehr wohl alleine durch den Allgemeinfall der Theta-Nicht-Nullwertfunktionen dargestellt werden. Basierend auf diesen Tatsachen bilden die Thetafunktionen zusammen mit den elliptischen Integralen die Grundlage für alle elliptischen Jacobi-Funktionen und Modulfunktionen.
Ableitungen
Ableitungen der Theta-Nicht-Nullwertfunktionen
Carl Gustav JacobiAdrien-Marie Legendre
Die partiellen Ableitungen der Theta-Nicht-Nullwertfunktionen nach dem linken Klammereintrag lauten[30][31] wie folgt:
Für diese Theta-Ableitungsfunktionen in der so definierten Form etablierte sich die Bezeichnung „Elliptic Theta Prime“ im englischen Sprachraum. Durch den Zusatz der elliptischen Nomenfunktion im rechten Klammereintrag können die Ableitungen so formuliert werden:
Definitionen des Zeta Amplitudinis
Mit dem Kürzel zn wird die jacobische Zetafunktion beziehungsweise das Zeta amplitudinis dargestellt:
Hierbei ist E(ε) das vollständige elliptische Integral zweiter Art:
Und E(α;ε) ist das unvollständige elliptische Integral zweiter Art:
Dieses Integral E(ε) nennt das Verhältnis des Viertelumfangs zur größeren Halbachse bei der Ellipse mit dem Wert ε als spezifische Exzentrizität. Diese Definition und die zugehörige Klassifizierung wurden insbesondere durch den Mathematiker Adrien-Marie Legendre aufgestellt.
Wärmeleitungsgleichung
Als Lösungen der Wärmeleitungsgleichung erfüllen die Thetafunktionen diese Differentialgleichungen:
Dies ist durch das Einsetzen von folgender Formel ersichtlich:
Der Formalismus entspricht einer Fourierentwicklung im Ortsraum mit Koeffizienten mit exponentiell abfallender Zeitabhängigkeit. Somit bildet die jacobische Thetafunktion den Wärmeleitungskern der eindimensionalen Wärmeleitungsgleichung[33] mit der räumlichen Periodizität als Randbedingung.
Ableitungen der Theta-Nullwertfunktionen
Die Ableitungen der Theta-Nullwertfunktionen[34] lauten wie folgt:
Und zueinander stehen die beiden zuletzt genannten Formeln somit in dieser Beziehung:
Die Ableitungen der Quotienten aus jeweils zwei der drei hier genannten Thetafunktionen haben immer eine rationale Beziehung zu jenen drei Funktionen:
Unendliche Summe der Kehrwerte von den Quadraten der Fibonacci-Zahlen:
Unendliche Summe der Kehrwerte ungeradstelliger Pell-Zahlen:
Reihen mit Potenzen als Summanden
Summenreihen mit einer bezüglich des Summenindex konstanten Basis und einem bezüglich des Summenindex quadratischen Exponenten können stets als elementare Linearkombinationen der Funktion ϑ₀₀ ausgedrückt werden:
Dabei muss einen positiven Wert annehmen.
Beispielsweise ergibt jene unendliche Summe folgenden Wert:
Fundamentallösung des Laplace-Operators auf dem Rechteck
Dieser Ausdruck liefert das Potential der Linienladung am Ort (, ) eines ein geerdetes metallisches Rechteck senkrecht am Ort (, ) kreuzenden Drahtes.
Quintische Gleichungen
Lösung der Bring-Jerrard-Form
Die allgemeine quintische Gleichung kann nach dem Satz von Abel-Ruffini nicht elementar radikalisch gelöst werden. Aber eine allgemeine Lösung ist sehr wohl mit Hilfe der elliptischen Funktionen möglich. Mit der Thetafunktion kann auch der Allgemeinfall der Gleichung fünften Grades in Abhängigkeit vom elliptischen Nomen aus einem von den Koeffizienten stets elementar abhängigen elliptischen Modul gelöst werden. Hierbei werden die fünften Potenz und die fünfte Wurzel des betroffenen elliptischen Nomens[40] in die Thetafunktion eingesetzt. Für folgende quintische Gleichung in Bring-Jerrard-Form kann die allgemeine Lösung mit der Thetafunktion ϑ₀₀ vereinfacht dargestellt werden:
Für alle reellen Werte hat die gezeigte Summe aus fünfter Potenzfunktion und identischer Abbildungsfunktion für in Abhängigkeit von exakt eine reelle Lösung. Und diese reelle Lösung kann für alle reellen Werte mit dem nun folgenden Algorithmus exakt korrekt hervorgerufen werden:
Lösungsverfahren der quintischen Gleichungen über die Thetafunktion
Bring-Jerrard-Gleichung:
Elliptischer Nomen-q-Funktionswert:
Die reelle Lösung für x:
Der Ausdruck ctlh steht für den Cotangens lemniscatus hyperbolicus und der Ausdruck aclh steht für den Areacosinus lemniscatus hyperbolicus.
Im Folgenden wird ein nicht elementar darstellbarer, aber algebraischer Beispielwert behandelt, der mit dem gezeigten Algorithmus hervorgebracht werden kann:
Zweite Beispielrechnung
Im Folgenden wird ein weiterer nicht elementar darstellbarer algebraischer Beispielwert behandelt. Die Gleichung soll gelöst werden. Diese Gleichung kann zu äquivalent umgeformt werden. Hierbei muss somit der Wert eingesetzt werden. Für das elliptische Nomen in dieser Gleichung gilt:
Dieses wird nun in die genannte Beispielgleichung eingesetzt:
Quintische Gleichung mit zugehöriger reeller Lösung
Quintische Gleichung:
Reelle Lösung von dieser Gleichung dargestellt über die Thetafunktion:
Für diese Lösung beziehungsweise diese Zahl ist jegliche elementare Darstellung unmöglich.
Genähert ergibt sich:
Entdeckung der Modulformel durch Hermite
Charles HermiteErland Samuel Bring
Der Mathematiker Paolo Ruffini veröffentlichte 1799 einen lückenhaften Beweis für die Unauflösbarkeit der allgemeinen quintischen Gleichung über elementare Wurzelausdrücke. Er beschäftigte sich als Erster mit dem Beweis dieser These und er wendete in seinem Beweis die Gesetze der Gruppentheorie an. Im Jahre 1824 brachte Niels Henrik Abel einen vollständigen Beweis für diese elementare Unlösbarkeit der verallgemeinerten Gleichungen fünften Grades. Um 1830 stellte der französische Mathematiker Évariste Galois die nach ihm benannte Theorie über die Lösbarkeitskriterien von quintischen Gleichungen und höher gradigen Gleichungen über elementare Wurzelausdrücke auf. Diese Theorie wird Galois-Theorie genannt. Später erforschte der ebenso aus Frankreich kommende Mathematiker Charles Hermite bei der Bring-Jerrard-Form der quintischen Gleichung mit gleichem Vorzeichen vor quintischem und linearem Glied einen Algorithmus für die Ermittlung des elliptischen Moduls beziehungsweise der numerischen Exzentrizität für den Ausdruck der Lösung mittels elliptischer Modulfunktionen. Die Tatsache, dass für die Darstellung des Bringschen Radikals über Modulfunktionen der Modul genau dem gezeigten Cotangens-lemniscatus-hyperbolicus-Quadrat entspricht, wurde durch ihn erkannt. Hermite schrieb diesen Zusammenhang in seiner Arbeit Sur la résolution de l’Équation du cinquiéme degré Comptes rendus nieder. Die italienische Version seiner Arbeit Sulla risoluzione delle equazioni del quinto grado enthält auf der Seite 258 diejenige Formel, aus welcher der hier genannte Modul hervorgeht. Ebenso analysierten die Mathematiker John Stuart Glashan, George Paxton Young[41] und Carl Runge[42] im Jahre 1885 die Lösung der Bring-Jerrard-Form. Sie stellten eine parametrisierte Formel der Bring-Jerrard-Form auf, die exakt beschreibt, ob eine gegebene quintische Gleichung mit elementaren Wurzelausdrücken lösbar ist oder nicht. Basierend auf ihrer Parameterformel konnten sie einen Ausdruck mit fünften Wurzeln in Abhängigkeit von den Parametern des absoluten Gliedes der normierten Bring-Jerrard-Form aufstellen. So ermittelten sie einen quintisch radikalen Lösungsausdruck in Abhängigkeit von einem elliptischen Schlüssel. Für sie genannte Gleichung sieht dieselbe reelle Lösung mit dem elliptischen Schlüssel und in Abhängigkeit von quintisch radikalen Ausdrücken exakt so aus:
Zugehöriger elliptischer Schlüssel:
Der große W-Buchstabe stellt die große reduzierte webersche Modulfunktion dar. Generell dient das Bringsche Radikal zum Lösen der verallgemeinerten Gleichung fünften Grades und wurde vom schwedischen Mathematiker Erland Samuel Bring erforscht. Der gezeigte elliptische Schlüssel ermöglichte die Lösung der allgemeinen Bring-Jerrard-Form nach dem Muster von den Mathematikern Glashan, Young und Runge. Mit der elliptischen Identität des Bringschen Radikals beschäftigten sich außerdem die russischen Mathematiker Viktor Prasolov und Yuri Solovyev in ihrem Werk Elliptic Functions and Elliptic Integrals aus dem Jahre 1991. Und basierend auf den Aufsätzen von Soon Yi Kang und Nikolaos Bagis kann über den gezeigten Lösungausdruck mit dem elliptischen Schlüssel ein Lösungsausdruck derselben Lösung über die Rogers-Ramanujan-Kettenbrüche R und S hergeleitet werden.
Kreiszahlformeln nach Ramanujan
Die Hermitesche elliptische phi-Funktion ist so definiert:
Mit folgender Formel über Phifunktion, Thetafunktion und Theta-Ableitungsfunktion lassen sich viele exemplarische Formeln rein algebraischer Art erzeugen, die sehr schnell exakt zur Kreiszahl konvergieren. Dieses Verfahren wurde durch Ramanujan entdeckt und in seinen Aufzeichnungen im Jahre 1814 niedergeschrieben. Die Gebrüder Borwein fassten seine Niederschriften auf und verwendeten die Elliptische Alphafunktion zur Beschreibung seiner Resultate. Vereinfacht soll die Formel, mit der Srinivasa Ramanujan gearbeitet hat, mit Hilfe der genannten Funktionen dargestellt werden:
Diese Formeln ist für alle Werte gültig.
Tabellarisch werden hiermit einzelne Exemplare von elliptischem Modul und zugehöriger Kreiszahlformel aufgelistet. Dabei wird der jeweilige Nomenwert x in der linken Spalte und die daraus resultierende Kreiszahlsummenformel in der rechten Spalte angegeben:
Elliptisches Nomen
Kreiszahlformel
Die zuletzt genannte Formel ist die berühmteste unter diesen Formeln und erlangte große internationale Bekanntheit unter den Mathematikern.
Niels Henrik Abel: Solution de quelques problèmes à l’aide d’intégrales définies. Magazin for Naturvidenskaberne, Argang I, Bind2, Christina, 1823
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