Die Kerr-Newman-Metrik (nach Roy Kerr und Ezra Ted Newman) ist eine exakte, asymptotisch flache, stationäre und axialsymmetrische Lösung der Einstein-Gleichungen. Sie beschreibt die Raumzeit und damit auch das Gravitationsfeld von elektrisch geladenen, rotierenden Schwarzen Löchern. Wird die komplexe Transformation , die von der Schwarzschild-Metrik zur Kerr-Lösung führt, auf die Reissner-Nordström-Metrik angewendet, führt dies zur Kerr-Newman-Lösung.[1][2]
Inhaltsverzeichnis
1Linienelement
2Ergosphäre und Ereignishorizont
3Bewegungsgleichungen
4Einzelnachweise
Linienelement
Das Linienelement hat in Boyer-Lindquist-Koordinaten die Form[3][4]:
Wobei hier die Raum-Zeit-Signatur und folgende Abkürzungen benutzt wurden:
dabei bezeichnen das Massenäquivalent (inklusive Ladungs- und Rotationsenergie) des zentralen Körpers, die elektrische Ladung und den Drehimpuls des Schwarzen Loches. Durch Wahl in der Relativitätstheorie üblicher natürlicher Einheiten mit (Gravitationskonstante, Lichtgeschwindigkeit und Coulomb-Konstante) haben Masse , elektrische Ladung und Drehimpulsparameter die gleiche Dimension wie eine Länge.[5] ist der Schwarzschild-Radius.
Die irreduzible Masse steht mit dem totalen, auch als die gravitierende Masse bezeichneten Massenäquivalent im Verhältnis[6]
Da einem statischen und neutralen Objekt, das in Rotation versetzt oder elektrisch aufgeladen werden soll, Energie hinzugefügt werden muss, und diese Energie aufgrund der Äquivalenz von Masse und Energie selbst zu einer Masse äquivalent ist, ist das Massenäquivalent eines rotierenden und/oder geladenen Körpers dementsprechend höher, als wenn dieser sich neutral in Ruhe befindet. Einem schwarzen Loch kann mithilfe des Penrose-Prozesses[3][7] zwar Energie und damit auch Massenäquivalent entzogen werden, jedoch nicht so viel, dass am Ende weniger als die irreduzible Masse (die eines entsprechenden Schwarzschild-Lochs) übrigbleiben würde.
Die ko- und kontravarianten metrischen Koeffizienten lauten damit
Im Fall eines elektrisch neutralen Schwarzen Loches vereinfacht sich die Kerr-Newman-Metrik zur Kerr-Metrik. Im Fall eines nicht-rotierenden Schwarzen Loches ergibt sich die Reissner-Nordström-Metrik und für ein neutrales und nicht-rotierendes Objekt die Schwarzschild-Metrik.
Ergosphäre und Ereignishorizont
Ereignishorizonte und Ergosphären. a²+Q² läuft in pseudosphärischen r,θ,φ-Koordinaten von 0 bis 1 und in kartesischen x,y,z-Koordinaten von 1 bis 0.
Für den äußeren Ereignishorizont bei und den inneren, auch Cauchy-Horizont genannt, bei , ergibt sich, indem gesetzt und nach aufgelöst wird ein Boyer-Lindquist-Radius von[4]
Bei würde sich der Horizont auflösen, und die Metrik dann kein schwarzes Loch mehr beschreiben. Körper mit einem höheren Spin können daher auch nicht zu einem Schwarzen Loch kollabieren ohne vorher Drehimpuls abzugeben und/oder einen Teil ihrer Ladung durch Akkretion entgegengesetzt geladener Materie zu neutralisieren.[8][9][10]
Bewegungsgleichungen
Testpartikel im starken gravitativen Feld einer schnell rotierenden und stark geladenen zentralen Masse (a/M=0,9, Q/M=0,4)
Mit dem elektromagnetischen Potential[11][12]
und dem daraus resultierenden Maxwell-Tensor
ergeben sich über
die Bewegungsgleichungen[13][14] eines freifallenden Testpartikels; diese lauten in den dimensionslosen natürlichen Einheiten , womit sich auf und auf reduziert, und Längen in sowie Zeiten in gemessen werden:
mit für die spezifische Gesamtenergie (potentiell, kinetisch und Ruheenergie), für den spezifischen axialen Drehimpuls und für die elektrische Ladung pro Masse des Testteilchens. ist dabei die Carter-Konstante:
ist dabei die durch Frame-Dragging induzierte Winkelgeschwindigkeit eines lokal drehimpulsfreien Beobachters.
Die Eigenzeitableitungen der Koordinaten stehen mit der lokalen 3er-Geschwindigkeit , die relativ zu einem lokal drehimpulsfreien Beobachter vor Ort gemessen wird, in dem Verhältnis
.
Damit ergibt sich für die einzelnen Komponenten
für die radiale,
für die poloidale,
für die axiale und
für die insgesamte lokale Geschwindigkeit, wobei
der axiale Gyrationsradius (lokaler Umfang durch 2π) ist, und
die gravitative Komponente der Zeitdilatation. Die radiale Fluchtgeschwindigkeit eines elektrisch neutralen Teilchens lautet damit
.
Einzelnachweise
↑Ezra (Ted) Newman und Tim Adamo: Kerr-Newman metric. Scholarpedia, 9(10):31791
↑Newman & Janis: Note on the Kerr Spinning-Particle Metric