wobei und eine Folge positiver reeller Zahlen ist.
Aus einer so definierten Kettenwurzel lässt sich die Kettenwurzel-Folge mit
,
,
,
, …
bilden.
Inhaltsverzeichnis
1Beispiele quadratischer Kettenwurzeln
2Konvergenzkriterium
3Konvergenz bei konstanten zugrundeliegenden Folgen
3.1Grenzwerte bei speziellen konstanten Folgen
3.2Grenzwerte bei allgemeinen konstanten Folgen
4Literatur
5Weblinks
6Einzelnachweise
Beispiele quadratischer Kettenwurzeln
Ist , so sind Quadratwurzeln ().
Für ist
der Goldene Schnitt.
Für gilt
.
Näherungsweise gilt:
Mit :
Mit :
Mit :
Dieses letzte Beispiel verdeutlicht in besonderer Weise, dass trotz einer rapide anwachsenden Folge die zugehörige Kettenwurzel einen endlichen Wert annehmen kann.
Konvergenzkriterium
Gegeben sei eine Kettenwurzel-Folge mit der zugrunde liegenden Kettenwurzel und der Folge positiver reeller Zahlen ().
Dann konvergiert genau dann, wenn es eine reelle Zahl gibt mit
.[1]
Alle Kettenwurzel-Folgen in den obigen Beispielen sind nach diesem Kriterium konvergent.
Konvergenz bei konstanten zugrundeliegenden Folgen
Grenzwerte bei speziellen konstanten Folgen
Da in den ersten beiden Beispielen die Folge jeweils konstante Glieder hat, tritt für beliebiges jeder Rest-Abschnitt der betreffenden Kettenwurzel als Grenzwert von auf. Somit lässt sich jeweils folgendermaßen bestimmen, wobei stets nur die positive Lösung infrage kommt:
Im ersten Beispiel:
Im zweiten Beispiel:
[2]
Grenzwerte bei allgemeinen konstanten Folgen
Ersetzt man in den ersten beiden Beispielen allgemein die Zahlen bzw. durch , so ergibt sich analog:
Für ist beispielsweise der nächste ganzzahlige Grenzwert.
Literatur
Pierre Collet, Jean-Pierre Eckmann: Iterated Maps on the Interval as Dynamical Systems Birkhäuser Verlag, Basel 1986
Oskar Perron: Die Lehre von den Kettenbrüchen, Band 2, dritte Auflage, Stuttgart 1957, Seite 46
Walter S. Sizer: Continued roots Mathematics Magazine 59, 23–27 (1986), https://doi.org/10.1080/0025570X.1986.11977215
Weblinks
Peter Kubach: Kettenwurzel und Kettenbruch aus kubach-mathe.de, abgerufen am 3. Mai 2023
Hans Walser: Kettenwurzeln aus walser-h-m.ch, abgerufen am 3. Mai 2023
Einzelnachweise
↑Detlef Laugwitz: Kettenwurzeln und Kettenoperationen In: Elemente der Mathematik, Vol. 45, Nr. 4, Seiten 89–98, Basel, Juli 1990 http://doi.org/10.5169/seals-42415
↑Unendliche Kettenbrüche und Kettenwurzeln aus hs-fulda.de, abgerufen am 3. Mai 2023