In der Mathematik ist das logarithmische Mittel, also der logarithmische Mittelwert, ein bestimmter Mittelwert, der die Logarithmusfunktion verwendet.
Definition
Das logarithmische Mittel
zweier verschiedener positivreeller Zahlen
ist gegeben durch
![{\displaystyle M_{\text{lm}}(x,y)={\frac {y-x}{\ln {\frac {y}{x}}}}={\frac {y-x}{\ln y-\ln x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/055908204e592f4710f8d4658ab6e4bcd6a9fea6)
Um auch den Fall
zu erfassen, definiert man allgemeiner
![{\displaystyle M_{\text{lm}}(x,y)=\lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}{\frac {\eta -\xi }{\ln \eta -\ln \xi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60f603ad5acbaf3f82abfa6170638ef4554b04b2)
Dann ist
.
Eigenschaften
Das logarithmische Mittel ist eine streng monoton wachsende Funktion. Ferner liegt das logarithmische Mittel zwischen dem arithmetischen und geometrischen Mittel:
[1]
Diese Ungleichung gilt für
.
Der Beweis stützt sich auf die grafische Veranschaulichung des zugrunde liegenden Sachverhalts (Figur 1 und Figur 2). Wegen der schon vergebenen Bezeichnungen
und
für die Koordinatenachsen werden hier die positiven reellen Zahlen
und
mit
vorgegeben.[2][3]
Aus Figur 1 resultiert der erste Beweisansatz
.
Nach Stammfunktionsbildung folgt hieraus zunächst
![{\displaystyle \ln(b)-\ln(a)>{\frac {2}{a+b}}(b-a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfc7b03669489aff4b528e0fbfb2d5a268062db7)
und schließlich nach einer elementaren Ungleichungsoperation
,
womit der rechte Teil der Ungleichung bewiesen ist.
Der zweite Beweisansatz wird aus Figur 2 ersichtlich:
![{\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x<{\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {1}{a}}+{\frac {1}{\sqrt {ab}}}\right)\cdot \left({\sqrt {ab}}-a\right)+{\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {1}{b}}+{\frac {1}{\sqrt {ab}}}\right)\cdot \left(b-{\sqrt {ab}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62c297f71e7eb100600822266394942d2446e904)
Wieder ergibt sich nach Lösen des Integrals und mehreren Äquivalenzumformungen
![{\displaystyle \ln(b)-\ln(a)<{\frac {b-a}{\sqrt {ab}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5963f6fac303cc8e0e9d1bba04c429f577a13e11)
und abschließend
.
Damit ist auch der linke Teil der Ungleichung bewiesen.
Anwendungen
Der logarithmische Mittelwert findet in diversen Wissenschaften und technischen Problemen Verwendung. Es tritt meist dann auf, wenn über treibende Gefälle gemittelt wird. Dies ist zum Beispiel bei der integralen Betrachtung von Wärme- oder Stofftransportprozessen der Fall, beispielsweise bei der verfahrenstechnischen Auslegung von Wärmetauschern oder Trennkolonnen.
Analysis
Mittelwertsatz
Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es zu einer differenzierbaren Funktion
ein
mit
![{\displaystyle f'(\xi )={\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fd246dcbd6744d0c8ac7a416766bb6ae3bfca23)
Für
erhält man daraus
, also
.
Das
ist in diesem Fall also der logarithmische Mittelwert aus
und
.
Integration
Außerdem erhält man für die Integration
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\int \limits _{0}^{1}x^{1-t}y^{t}\ \mathrm {d} t&=&\int \limits _{0}^{1}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}x\ \mathrm {d} t\\&=&x\int \limits _{0}^{1}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}\mathrm {d} t\\&=&{\frac {x}{\ln {\frac {y}{x}}}}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}|_{t=0}^{1}\\&=&{\frac {x}{\ln {\frac {y}{x}}}}\left({\frac {y}{x}}-1\right)\\&=&{\frac {y-x}{\ln y-\ln x}}.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/916efadd85838c7c6813b23348255db1c1fd50af)
Verallgemeinerungen
Mehrere Variablen
Die Verallgemeinerungen des logarithmischen Mittels auf mehr als zwei Variablen wird seltener verwendet und ist uneinheitlich.
Verallgemeinert man die Idee des Mittelwertsatzes etwa ist
![{\displaystyle L_{\mathrm {MV} }(x_{0},\dots ,x_{n})={\sqrt[{-n}]{(-1)^{(n+1)}\cdot n\cdot \ln[x_{0},\dots ,x_{n}]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bf2da92bb33e958e99990d0fbfba8401582688b)
wobei
die dividierten Differenzen des Logarithmus bezeichnen.
Für
, also für drei Variablen, führt dies zu
.
Verallgemeinert man das Integral zu
![{\displaystyle L_{\mathrm {I} }(x_{0},\dots ,x_{n})=\int _{S}x_{0}^{\alpha _{0}}\cdot \dots \cdot x_{n}^{\alpha _{n}}\ \mathrm {d} \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a87030332fd6c78640b6925605c5dc6243114ec1)
mit
erhielte man
![{\displaystyle L_{\mathrm {I} }(x_{0},\dots ,x_{n})=n!\cdot \exp[\ln x_{0},\dots ,\ln x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2444651f6db9ee9128bb9985d009487f82f3a3b)
und als Spezialfall für drei Variablen
.
Andere Mittelwerte
Das Stolarsky-Mittel etwa verallgemeinert das logarithmische Mittel.
Quellen
- Horst Alzer: Ungleichungen für Mittelwerte. Archiv der Mathematik, Vol 47, Nr. 5 / Nov. 1986, doi:10.1007/BF01189983.
- A. O. Pittenger: The logarithmic mean in n variables. In: American Mathematical Monthly, 92 (1985), S. 99–104.
- Gao Jia, Jinde Cao: A New Upper Bound of the Logarithmic Mean. Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics 4, 4, 2003, 80.
Einzelnachweise
- ↑ Eric W. Weisstein: Arithmetic-Logarithmic-Geometric-Mean-Inequality und Napier's Inequality in MathWorld
- ↑ Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 142
- ↑ Mathematics Magazine, vol. 68, no. 4 (Oct. 1995), S. 305