Physikalische Größe |
Name | magnetisches Vektorpotential |
Formelzeichen | |
Größen- und Einheitensystem | Einheit | Dimension | SI | T·m = V·s·m−1 | M1 L1 T−2 I−1 | |
Das magnetische Vektorpotential
, oft auch nur als Vektorpotential bezeichnet, ist in der klassischen Elektrodynamik ein Vektorfeld dessen Rotation die magnetische Flussdichte
ergibt
.
Historisch wurde es als mathematisches Hilfsmittel entwickelt, um die magnetische Flussdichte leichter zu beschreiben. Es lässt sich u. a. auch dazu verwenden, die zur Beschreibung des elektromagnetischen Felds verwendeten Maxwell-Gleichungen zu entkoppeln und dadurch leichter lösbar zu machen.
Obwohl es zunächst nur als mathematisches Hilfsmittel eingeführt wurde, kommt ihm in der Quantenmechanik physikalische Realität zu, wie das Aharonov-Bohm-Experiment zeigt.
Das magnetische Vektorpotential hat die SI-Einheit
.
Definition
Das magnetische Vektorpotential
ist ein Vektorfeld, das zusammen mit dem elektrischen Potential
durch die Gleichungen
![{\displaystyle {\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}({\vec {r}},t)\qquad {\vec {E}}=-\nabla \Phi ({\vec {r}},t)-{\frac {\partial {\vec {A}}({\vec {r}},t)}{\partial t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87c1566adbe351a2cd0312e620ca2085a4aee064)
definiert ist.
steht für die magnetische Flussdichte,
für das elektrische Feld. In der Magnetostatik ist das magnetische Vektorpotential
nicht zeitabhängig. Es ist deshalb vollständig durch die erste Gleichung unabhängig vom elektrischen Potential definiert.
![{\displaystyle {\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}({\vec {r}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fae3b5268698320142cfaba3e8e604a33b595b1d)
Das magnetische Vektorpotential ist eine Anwendung des rein mathematischen Vektorpotentials.
Berechnung
Magnetostatik
In der Magnetostatik erfüllt das Vektorpotential die Poisson-Gleichung (mit der Vakuumpermeabilität
):
.
Diese Differentialgleichung kann mit einer Faltung (siehe Greensche Funktion) gelöst werden, um das magnetische Vektorpotential zu erhalten:
![{\displaystyle {\vec {A}}({\vec {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {{\vec {j}}({\vec {r}}')}{\left|{\vec {r}}-{\vec {r}}'\right|}}\mathrm {d} ^{3}r'\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/651d814163c17b63410308e687cff5fc1c8c1ba6)
Diese Beziehung gilt nur, wenn die Stromdichte
im Unendlichen verschwindet und dabei mindestens so schnell wie
gegen null geht.
Elektrodynamik
In der Elektrodynamik erweitert sich die Poisson-Gleichung zur (inhomogenen) Wellengleichung für das Vektorpotential
,
wobei
der D’Alembert-Operator ist.
Die inhomogenen Lösungen dieser Gleichung sind das retardierte bzw. avancierte Vektorpotential
, mit
.
Eigenschaften
Weil die Divergenz einer Rotation immer Null ist, gilt
![{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {B} &=\nabla \cdot \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=0\\\nabla \times \mathbf {E} &=\nabla \times \left(-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa6971f39a45ff0578d7154234972912b45e16ab)
Die Definition sorgt so dafür, dass Induktionsgesetz und das Gaußsches Gesetz für Magnetfelder, also zwei der Maxwell-Gleichungen, automatisch erfüllt sind.
Das magnetische Vektorpotential ist als Vektorfeld außerdem nicht konservativ. Andernfalls wäre es durch den Gradienten eines skalaren Feldes
darstellbar und es würde gelten:
![{\displaystyle {\vec {B}}({\vec {r}})=\nabla \times {\vec {A}}({\vec {r}})=\nabla \times \nabla \alpha \equiv 0\,\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9ad439093f31ae5759b1949f136ba9034e057aa)
Skalares Potential und Vektorpotential werden in der Relativitätstheorie und der Quantenelektrodynamik zum Viererpotential
![{\displaystyle A^{\mu }=\left(\Phi /c,{\vec {A}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bd345e50533d9ef9a5a44e3d25181fd888c3b03)
zusammengefasst.
Eichungen
- Das Vektorpotential ist nur bis auf ein Gradientenfeld bestimmt, weil die Rotation eines Gradientenfeldes immer verschwindet. Für jede skalare Funktion
gilt also
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {A}}({\vec {r}},t)'&={\vec {A}}({\vec {r}},t)+\nabla \chi ({\vec {r}},t)\\\Rightarrow \;\;{\vec {B}}({\vec {r}},t)'&=\nabla \times {\vec {A}}({\vec {r}},t)'=\nabla \times {\vec {A}}({\vec {r}},t)+\nabla \times \nabla \chi =\nabla \times {\vec {A}}({\vec {r}},t)={\vec {B}}({\vec {r}},t)\,.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/426fa348f48bc94503818e5c8f5a41f27ba8bdaa)
- Verschieden geeichte Vektorpotentiale führen also auf dasselbe magnetische Feld. Dies wird als Eichinvarianz bezeichnet.
.
- In der Elektrodynamik, d. h. bei nicht-statischen Verhältnissen, benutzt man dagegen meist die folgende Lorenz-Eichung, die für die Berechnung elektromagnetischer Wellenfelder nützlich ist:
Dabei ist
das skalare Potential (s. u.) und
die Lichtgeschwindigkeit.
Elektrisches Vektorpotential
Bei der Berechnung von Feldern in ladungs- und leitungsstromfreien Gebieten, z. B. in Hohlleitern begegnet man dem elektrischen Vektorpotential
, es hat die Einheit einer Linienladungsdichte
.
Aufgrund der Quellenfreiheit der betrachteten Felder gilt
bzw.
sowie
.
Um einen funktionalen Zusammenhang zwischen
und
zu erhalten, subtrahiert man die Gleichungen
und
voneinander und erhält:
![{\displaystyle \operatorname {div} ({\vec {D}}-\operatorname {rot} {\vec {F}})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85bbaa2b3bf5a534172290dae3498d1b07a4133)
Das Wirbelfeld
nennt man elektrisches Vektorpotential. Es beschreibt nur zeitlich veränderliche elektrische Felder.
Beziehungen zwischen Vektor- und Skalarpotential
Gemäß dem helmholtzschen Theorem kann (fast) jedes Vektorfeld
als Superposition zweier Komponenten
und
aufgefasst werden, deren erste der Gradient eines Skalarpotentials
ist, die zweite dagegen die Rotation eines Vektorpotentials
:
![{\displaystyle {\vec {K}}({\vec {r}})={\vec {F}}({\vec {r}})+{\vec {G}}({\vec {r}})=\operatorname {grad} \,\Phi ({\vec {r}})+\operatorname {rot} \,{\vec {\Gamma }}({\vec {r}})=\nabla \Phi ({\vec {r}})+\nabla \times {\vec {\Gamma }}({\vec {r}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23a7afa7ad2097c669d19e527b156f4adc00acfd)
Ist
ein konservatives Kraftfeld, in dem die Kraft
dem Prinzip des kleinsten Zwanges folgend stets der Richtung des maximalen Anstiegs des Potentials
entgegengerichtet ist, gilt alternativ die Schreibweise
![{\displaystyle {\vec {K}}({\vec {r}})={\vec {F}}({\vec {r}})+{\vec {G}}({\vec {r}})=-\operatorname {grad} \,\Phi ({\vec {r}})+\operatorname {rot} \,{\vec {\Gamma }}({\vec {r}})=-\nabla \Phi ({\vec {r}})+\nabla \times {\vec {\Gamma }}({\vec {r}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7330772972b3145c1dc3dc9d9feba1d9ee4f09e9)
Literatur
- Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie. Springer Verlag, 2002, ISBN 3-540-42018-5.