Minimallösung

Minimallösung (englisch minimal solution) ist ein mathematischer Begriff, der sowohl in der Approximationstheorie als auch in der Optimierungstheorie sowie in zugehörigen Teilgebieten der Mathematik, wie der Funktionalanalysis, der numerischen Mathematik oder der Variationsrechnung, eine bedeutende Rolle spielt.^{[1][2][3][4][5]}

Den Terminus einer Minimallösung findet man in der Mathematik – wenngleich in einem anderen Sinne verstanden – auch in der Zahlentheorie im Zusammenhang mit der pellschen Gleichung sowie in der Theorie der Differentialungleichungen im Sinne einer Lösung gewisser Anfangswertprobleme.^[6]

Den Begriff verwendet man in einem weiteren und einem engeren Sinne.

Gegeben seien eine beliebige Menge ${\displaystyle X}$, eine Teilmenge ${\displaystyle C\subseteq X}$ sowie eine numerische Funktion ${\displaystyle f\colon X\to {\bar {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}}$. Dann gibt es folgende Begriffsfestlegungen:^[7]

• Als Minimalwert von ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle C}$ bezeichnet man das Infimum ${\displaystyle \inf _{x\in C}{f(x)}}$, wobei im Falle ${\displaystyle C=\emptyset }$ dieses Infimum ${\displaystyle =+\infty }$ gesetzt wird.
• Unter der Menge der Minimallösungen von ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle C}$ versteht man die Teilmenge derjenigen Elemente von ${\displaystyle C}$, welche den Minimalwert von ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle C}$ annehmen, also die Teilmenge ${\displaystyle M(f,C):=\{c\in C\mid f(c)=\inf _{x\in C}{f(x)}\}}$. Jedes dieser Elemente nennt man eine Minimallösung von ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle C}$.
• Ist ${\displaystyle X}$ ein topologischer Raum und dabei ${\displaystyle c_{0}\in C\subseteq X}$, so heißt ${\displaystyle c_{0}}$ eine lokale Minimallösung von ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle C}$, falls eine (offene) Umgebung ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle c_{0}}$ in ${\displaystyle X}$ derart existiert, dass ${\displaystyle c_{0}}$ eine Minimallösung von ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle U\cap C}$ ist. Dieser Begriff ist vor allem wichtig für den Fall, dass ${\displaystyle X}$ ein metrischer oder ein normierter Raum ist.
• Unter einem Maximalwert von ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle C}$, einer Maximallösung von ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle C}$ und einer lokalen Maximallösung von ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle C}$ versteht man die durch Dualisierung entstehenden Begriffe, wenn man die Ordnungsrelation ${\displaystyle \leq }$ von ${\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}}$ nach ${\displaystyle \geq }$ umkehrt.^[7]

Gegeben seien ein normierter Raum ${\displaystyle X}$ (über dem Körper ${\displaystyle \mathbb {R} }$ der reellen oder dem Körper ${\displaystyle \mathbb {C} }$ der komplexen Zahlen), der mit einer Norm ${\displaystyle \|\cdot \|\colon X\to {\mathbb {R} }_{0}^{+}}$ versehen sein soll, sowie ein fester Raumpunkt ${\displaystyle a\in X}$ und weiter eine Teilmenge ${\displaystyle V\subseteq X}$.

• Hier betrachtet man, in Bezug auf die dadurch gegebene Abstandsfunktion ${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|\;(x,y\in X)}$, die zu ${\displaystyle a}$ gehörige Funktion ${\displaystyle d(a,\cdot )\colon X\to {\mathbb {R} }_{0}^{+}\subset {\bar {\mathbb {R} }}}$ und wendet die oben im weiteren Sinne festgelegten Begriffsbildungen an. Ist dann eine Minimallösung von ${\displaystyle d(a,\cdot )}$ auf ${\displaystyle V}$ vorhanden, so hat man – bezüglich ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle a}$! – einen Punkt kürzesten Abstands, also einen solchen Raumpunkt ${\displaystyle v_{0}\in V}$, der dieses Abstandsinfimum annimmt und damit die Gleichung ${\displaystyle \|v_{0}-a\|=\inf _{v\in V}{\|v-a\|}}$ erfüllt.
• Man nennt dieses ${\displaystyle v_{0}}$ – insbesondere in Approximationstheorie – eine Minimallösung für ${\displaystyle a}$ bezüglich ${\displaystyle V}$,^[8] (wobei man hier den Zusammenhang mit der Abstandsfunktion als gegeben unterstellt).
• Statt von einer Minimallösung (im engeren Sinne) spricht man hier nicht selten auch von einer besten Approximation (beziehungsweise besten Näherung) von ${\displaystyle a}$ bezüglich ${\displaystyle V}$^[9][10][11] oder von einem Proximum zu ${\displaystyle a}$ in ${\displaystyle V}$^[12] oder auch von einer Bestapproximation an / von ${\displaystyle a}$ in ${\displaystyle V}$^[13]. In der Theorie der topologischen Vektorräume wird eine solche Minimallösung (im engeren Sinne) manchmal auch als Lotpunkt bezeichnet.^[14]
• Das Konzept der besten Approximation (englisch best approximation) findet man im gleichen Sinne in dem allgemeineren Zusammenhang der metrischen Räume. Ist ${\displaystyle (X,d)}$ ein solcher und sind darin ein fixierter Raumpunkt ${\displaystyle a\in X}$ sowie eine Teilmenge ${\displaystyle V\subseteq X}$ gegeben, so bezeichnet man – wie oben!– eine Minimallösung von ${\displaystyle d(a,\cdot )}$ auf ${\displaystyle V}$ als beste Approximation von ${\displaystyle a}$ bezüglich ${\displaystyle V}$ (oder ähnlich). Dies ist demnach ein Element ${\displaystyle v_{0}\in V}$, welches die Gleichung ${\displaystyle d(a,v_{0})=\inf _{v\in V}{d(a,v)}}$ erfüllt.^[15][16]
• Die Zahl ${\displaystyle d(a,v_{0})}$ nennt manche Autoren auch die Minimalabweichung von ${\displaystyle a}$ bezüglich ${\displaystyle V}$ (oder ähnlich).^[11]

Die folgenden Sätze zählen zu den Resultaten, die im Zusammenhang mit Fragestellungen zu Minimallösungen oft zur Anwendung kommen.

Hier ist als besonders wichtiges Resultat die folgende Version des Weierstraß'schen Satzes vom Minimum zu nennen :^[17]

Gegeben seien ein topologischer Raum ${\displaystyle X}$ und darin eine nichtleere kompakte oder folgenkompakte Teilmenge ${\displaystyle K\subseteq X}$ sowie eine unterhalbstetige Funktion ${\displaystyle f\colon K\to \mathbb {R} }$.

Dann besitzt besitzt ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle K}$ eine Minimallösung.

Hier ist zunächst der folgende einfache Satz zu erwähnen, der den Zusammenhang zwischen lokalen und globalen Minimallösungen behandelt:^[18]

Gegeben seien ein reeller Vektorraum ${\displaystyle X}$ und darin eine konvexe Teilmenge ${\displaystyle C\subseteq X}$ sowie ein Raumpunkt ${\displaystyle x_{0}\in X}$. Weiter sei ${\displaystyle f\colon C\to \mathbb {R} }$ eine konvexe Funktion, die in ${\displaystyle x_{0}}$ eine lokale Minimallösung haben möge.

Dann besitzt ${\displaystyle f}$ auch auf ganz ${\displaystyle C}$ eine Minimallösung und der zugehörige Minimalwert ist ${\displaystyle f(x_{0})}$.

Darüber hinaus eine Reihe von weiteren Ergebnissen. Hier ist nicht zuletzt der folgende Charakterisierungssatz der konvexen Optimierung zu nennen:^[19]

Gegeben seien ein reeller Vektorraum ${\displaystyle X}$ und darin eine konvexe Teilmenge ${\displaystyle C\subseteq X}$ sowie ein Raumpunkt ${\displaystyle x_{0}\in X}$. Weiter sei ${\displaystyle f\colon C\to \mathbb {R} }$ eine konvexe Funktion.

Dann ist ${\displaystyle x_{0}}$ genau dann eine Minimallösung von ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle C}$, wenn für alle ${\displaystyle x\in C}$ in Hinblick auf das rechtsseitige Gâteaux-Differential die Ungleichung ${\displaystyle \delta _{+}f(x_{0},x-x_{0})\geq 0}$ erfüllt ist.

Hieraus ergibt sich als Folgerung:^[20]

Sind im euklidischen Raum ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}\;(n\in \mathbb {N} )}$ ein konvexes Gebiet ${\displaystyle U\subseteq {\mathbb {R} }^{n}}$ gegeben und darin ein Raumpunkt ${\displaystyle x_{0}\in U}$ sowie eine konvexe differenzierbare Funktion ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} }$, so ist ${\displaystyle x_{0}}$ eine Minimallösung von ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle U}$ genau dann, wenn das totale Differential ${\displaystyle {\nabla f}(x_{0})}$ der Nullvektor des ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ ist.

Der Charakterisierungssatz führt in reellen Prähilberträumen (und speziell in reellen Hilberträumen!) wegen der dort gegebenen reichhaltigen geometrischen Struktur zu einem grundlegenden Approximationssatz, welcher die Bedingungen beschreibt, unter denen dort beste Approximationen gewährtleistet sind. Dieser Approximationssatz ist folgendermaßen zu formulieren:^[21]

Sei ${\displaystyle X}$ ein reeller Prähilbert- oder Hilbertraum (mit ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ als innerem Produkt) und seien darin eine konvexe Teilmenge ${\displaystyle C\subseteq X}$ sowie ein Raumpunkt ${\displaystyle x_{0}\in X}$ gegeben.

Unter diesen Gegebenheiten ist ein ${\displaystyle c_{0}\in C}$ die (eindeutig bestimmte!) beste Approximation von ${\displaystyle x_{0}}$ bezüglich ${\displaystyle C}$ genau dann, wenn für alle ${\displaystyle c\in C}$ die Ungleichung ${\displaystyle {\langle c_{0}-x_{0},c-c_{0}\rangle }\geq 0}$ erfüllt ist.

Mit diesem Approximationssatz gewinnt man direkt den folgenden Projektionssatz:^[22]

Sei (wie zuvor) ${\displaystyle X}$ ein reeller Prähilbert- oder Hilbertraum und seien darin ein linearer Unterraum ${\displaystyle U\subseteq X}$ gegeben sowie ein Raumpunkt ${\displaystyle x_{0}\in X}$ .

Unter diesen Gegebenheiten ist ein ${\displaystyle u_{0}\in U}$ genau dann die beste Approximation von ${\displaystyle x_{0}}$ bezüglich ${\displaystyle U}$, wenn für alle ${\displaystyle u\in U}$ die Gleichung ${\displaystyle {\langle u_{0}-x_{0},u\rangle }=0}$ erfüllt ist. Mit anderen Worten: Ein ${\displaystyle u_{0}\in U}$ ist die beste Approximation von ${\displaystyle x_{0}}$ bezüglich ${\displaystyle U}$ genau dann, wenn der Differenzvektor ${\displaystyle u_{0}-x_{0}}$ zu allen ${\displaystyle u\in U}$ senkrecht steht.

Hier sind nicht zuletzt die beiden folgenden Sätze bedeutsam:^[23]

Der Satz von James

Dieser Satz geht auf den Mathematiker Robert Clarke James zurück und besagt folgendes:^[24]

Ein Banachraum ${\displaystyle X}$ ist genau dann reflexiv, wenn jedes stetige lineare Funktional auf der abgeschlossenen Einheitskugel ${\displaystyle {\overline {B_{X}}}}$ eine Minimallösung besitzt.

Der Satz von Schauder-Mazur

Dieser den beiden Mathematikern Juliusz Schauder und Stanisław Mazur zugerechnete Satz lässt sich wie folgt darstellen:^[25]

Ist ${\displaystyle X}$ ein reflexiver Banachraum ${\displaystyle X}$ und ist ${\displaystyle V\subseteq X}$ eine darin gelegene nichtleere, abgeschlossene, konvexe und beschränkte Teilmenge, so besitzt jede stetige konvexe Funktion ${\displaystyle f\colon V\to \mathbb {R} }$ auf ${\displaystyle V}$ eine Minimallösung.

Zur Stabilitätfrage im Zusammenhang mit Minimallösungen gibt es einen allgemeinen Stabilitätssatz, der folgendermaßen dargestellt werden kann:^[26][27]

Gegeben seien ein metrischer Raum ${\displaystyle X}$ und darin zwei Folgen von nichtleeren Teilmengen ${\displaystyle S,S_{1},S_{2},\ldots \subseteq X}$ sowie Funktionen ${\displaystyle f,f_{1},f_{2},\ldots \colon X\to \mathbb {R} }$.

Für jedes ${\displaystyle n=1,2,\ldots }$ gebe es eine Minimallösung ${\displaystyle a_{n}}$ von ${\displaystyle f_{n}}$ auf ${\displaystyle S_{n}}$.

Hierzu soll gelten:

(i) Die ${\displaystyle f_{n}}$ seien stetig konvergent gegen ${\displaystyle f}$.

(ii) ${\displaystyle S}$ liege als Teilmenge in dem im Sinne von Kuratowski verstandenen oberen Limes ${\displaystyle \varlimsup _{n\rightarrow \infty }{S_{n}}}$.

Dann ist jeder Häufungspunkt der Folge ${\displaystyle (a_{n})_{n=1,2,\ldots }}$, der in ${\displaystyle S}$ liegt, eine Minimallösung von ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle S}$.

Hier kennt man einen Existenz- und Eindeutigkeitssatz, der sich zusammengefasst wie folgt angeben lässt:^[28][14][29]

Sei ${\displaystyle X}$ ein strikt konvexer normierter Raum und sei darin eine abgeschlossene, lokalkompakte und konvexe Teilmenge ${\displaystyle V\subseteq X}$ gegeben. Dann gibt es für jeden Raumpunkt ${\displaystyle x_{0}\in X}$ bezüglich ${\displaystyle V}$ immer genau eine Minimallösung – also genau eine beste Approximation (oder einen Lotpunkt)! – ${\displaystyle v_{0}\in V}$. Dies gilt insbesondere dann, wenn ${\displaystyle V}$ in ${\displaystyle X}$ ein Untervektorraum endlicher Dimension ist.

Damit eng zusammenhängend ist der (von dem ungarischen Mathematiker Alfréd Haar im Jahr 1917 vorgelegte) Eindeutigkeitssatz von Haar, der folgendes besagt:^[30][31]

Sei ${\displaystyle B}$ ein kompakter Raum und sei hierzu ${\displaystyle X=C(B)}$ der (mit der Maximumsnorm versehene!) Funktionenraum der auf ${\displaystyle B}$ stetigen (reell- oder komplexwertigen) Funktionen.

Hier sei ${\displaystyle V\subseteq X}$ ein Untervektorraum der endlichen Dimension ${\displaystyle n=1,2,\ldots }$ und ${\displaystyle V}$ erfülle die Bedingung, dass jede nicht mit der Nullfunktion identische Funktion ${\displaystyle v\in V}$ höchstens ${\displaystyle n-1}$ Nullstellen in ${\displaystyle B}$ besitzen soll.

Dann gibt es bezüglich ${\displaystyle V}$ für jede Funktion ${\displaystyle f\in X}$ exakt eine Minimallösung ${\displaystyle v_{f}\in V}$.

Ein in der Linearen Approximationstheorie wichtiger Satz ist auch der (nach dem Mathematiker Ivan Singer benannte) Satz von Singer, der eine Charakterisierung der besten Approximationen liefert und folgendes besagt:^[32][33]

Es seien ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ein reeller normierter Raum und ${\displaystyle (X^{*},{\|\cdot \|})}$ der zugehörige Dualraum der reellwertigen stetigen linearen Funktionale, wobei dessen Operatornorm ebenfalls mit ${\displaystyle {\|\cdot \|}}$ bezeichnet sein soll, und es seien weiter ein Untervektorraum ${\displaystyle V\subseteq X}$ sowie ein Raumpunkt ${\displaystyle a\in X}$ gegeben.

Dann gilt:

Ein Unterraumpunkt ${\displaystyle v_{0}\in V}$ ist eine beste Approximation von ${\displaystyle a}$ bezüglich ${\displaystyle V}$ genau dann, wenn für es ein ${\displaystyle u\in X^{*}}$ gibt, welches die folgenden drei Bedingungen erfüllt:

(1) ${\displaystyle \|u\|=1}$.

(2) ${\displaystyle u(v)=0}$ für alle ${\displaystyle v\in V}$.

(3) ${\displaystyle u(a-v_{0})=\|a-v_{0}\|}$.

• Die obigen Infima existieren stets, da ${\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}}$, versehen mit der üblichen Totalordnung ${\displaystyle \leq }$, ein vollständiger Verband ist.
• Für Funktionenfolgen auf metrischen Räume ist der Begriff der stetigen Konvergenz eine Verschärfung des Begriffs der punktweisen Konvergenz.^[34][35]
• Ein Punkt ${\displaystyle y\in X}$ gehört dem im Sinne von Kuratowski verstandenen oberen Limes ${\displaystyle \varlimsup _{n\rightarrow \infty }{S_{n}}}$ definitionsgemäß genau dann an, wenn es dazu in ${\displaystyle \mathbb {N} }$ eine streng monoton wachsende Folge${\displaystyle n_{1}<n_{2}<\cdots }$ sowie eine Auswahlfolge ${\displaystyle y_{n_{k}}\in S_{n_{k}}\;(k=1,2,\ldots )}$ gibt mit ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }y_{n_{k}}=y\ (k\to \infty )}$.^[36][37]
• Die im Eindeutigkeitssatz von Haar auftretende Bedingung ist die sogenannte Haarsche Bedingung. Ein endlich-dimensionaler Funktionenunterraum, der in einem Funktionenraum dieser Bedingung genügt, wird als Haarscher Teilraum (englisch Haar subspace) oder Haarscher Raum bezeichnet.^{[30][38][39][40][31]}
• Der Eindeutigkeitssatz von Haar wird bei manchen Autoren – wegen der in Approximationstheorie hierzu erbrachten Leistungen des sowjetischen Mathematikers Andrej Nikolajewitsch Kolmogoroff – auch Satz von Kolmogoroff-Haar genannt.^[40]
• Für einen endlich-dimensionalen (!) normierten Raum ${\displaystyle X}$ sowie eine abgeschlossene Teilmenge ${\displaystyle F\subseteq X}$ besitzt jeder Raumpunkt ${\displaystyle a\in X}$ bezüglich ${\displaystyle F}$ eine Minimallösung im engeren Sinne, also in ${\displaystyle F}$ eine beste Approximation.^[41]
• Für einen normierten Raum (und speziell für einen normierten Funktionenraum) ${\displaystyle X}$ und jeden darin fest gewählten Raumpunkt ${\displaystyle a\in X}$ ist die zugehörige Funktion ${\displaystyle d(a,\cdot )\colon X\to {\mathbb {R} }_{0}^{+}}$ mit ${\displaystyle d(a,y)=\|a-x\|\;(x\in X)}$ stets ein konvexes Funktional^[42] und in jedem Falle stetig.
• Ist ${\displaystyle X={\mathbb {R} }^{n}\;(n\in \mathbb {N} )}$ der ${\displaystyle n}$-dimensionale euklidische Raum und sind hier eine abgeschlossene und konvexe Teilmenge ${\displaystyle C\subset X}$ gegeben sowie eine stetige Funktion ${\displaystyle f\colon C\to \mathbb {R} }$, so bezeichnet man die Menge ${\displaystyle M(f,C)\subseteq C}$ gelegentlich auch als Minimalmenge. Sie ist im ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ stets abgeschlossen und im Falle, dass ${\displaystyle f}$ konvex ist, eine konvexe Teilmenge des euklidischen Raums.^[43]
• Neben den oben aufgeführten Sätzen gibt es eine Fülle weiterer nennenswerter Resultate. Als wichtiges Beispiel kann hier der Approximationssatz für gleichmäßig konvexe Räume gelten, der bedeutsam für die gesamte Approximationstheorie ist.^[44] Daneben wäre auch der Fundamentalsatz der Variationsrechnung zu nennen.

• Lothar Collatz: Funktionalanalysis und numerische Mathematik. Unveränderter Nachdruck der 1. Auflage von 1964 (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 120). 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1968, ISBN 3-540-04135-4 (MR0165651). 
• Lothar Collatz, Werner Krabs: Approximationstheorie. Tschebyscheffsche Approximation mit Anwendungen (= Teubner Studienbücher). B. G. Teubner, Stuttgart 1973, ISBN 3-519-02041-6 (MR0445153). 
• Klaus Floret: Weakly Compact Sets. Lectures held at S.U.N.Y., Buffalo, in Spring 1978 (= Lecture Notes in Mathematics. Band 801). Springer-Verlag, Berlin 1980, ISBN 3-540-09991-3 (MR0576235). 
• Alfréd Haar: Die Minkowskische Geometrie und die Annäherung an stetige Funktionen. In: Mathematische Annalen. Band 78, 1917, S. 294–311 ([1]). 
• Harro Heuser: Funktionalanalysis. Theorie und Anwendung (= Mathematische Leitfäden). 4. Auflage. B. G. Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8351-0026-2 (MR2380292). 
• Rainer Hettich, Peter Zencke: Numerische Methoden der Approximation und semi-infiniten Optimierung (= Teubner Studienbücher Mathematik). B. G. Teubner, Stuttgart 1982, ISBN 3-519-02063-7 (MR0653476). 
• Peter Kosmol: Optimierung und Approximation (= De Gruyter Studium). 2. Auflage. Walter de Gruyter & Co., Berlin 2010, ISBN 978-3-11-021814-5 (MR2599674). 
• Peter Kosmol, Dieter Müller-Wichards: Optimization in Function Spaces. With stability considerations in Orlicz spaces (= De Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications. Band 13). Walter de Gruyter & Co., Berlin 2011, ISBN 978-3-11-025020-6 (MR2760903). 
• Gottfried Köthe: Topologische lineare Räume. I. (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 107). 2. verbesserte Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1966 (MR0194863). 
• Jürg T. Marti: Konvexe Analysis (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiet der Exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe. Band 54). Birkhäuser Verlag, Basel, Stuttgart 1977, ISBN 3-7643-0839-7 (MR0511737). 
• Günter Meinardus: Approximation von Funktionen und ihre numerische Behandlung (= Springer Tracts in Natural Philosophy. Band 4). Springer Verlag, Berlin, Göttingen, Heidelberg, New York 1964 (MR0176272). 
• Arnold Schönhage: Approximationstheorie (= de Gruyter Lehrbuch). Walter de Gruyter & Co., Berlin, New York 1971 (MR0277960). 
• Ivan Singer: Best Approximation in Normed Linear Spaces by Elements of Linear Subspaces. Translation of the original Romanian version "Cea mai bună aproximare în spații vectoriale normate prin elemente din subspații vectoriale". Translated by Radu Georgescu (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 171). Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1970 (MR0270044). 
• A. Wayne Roberts, Dale E. Varberg: Convex Functions (= Pure and Applied Mathematics. Band 57). Academic Press, New York, San Francisco, London 1973 (MR0442824). 
• Guido Walz [Red.]: Lexikon der Mathematik in sechs Bänden. Erster Band. A bis Eif. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, Berlin 2001, ISBN 3-8274-0303-0 (MR1839735). 

• Proximum
• Fundamentalsatz der Variationsrechnung

1. ↑ Peter Kosmol: Optimierung und Approximation. 2010, S. II (Vorwort), S. 8 ff., S. 79 ff.
2. ↑ Lothar Collatz: Funktionalanalysis und numerische Mathematik. 1968, S. 320 ff.
3. ↑ Lothar Collatz, Werner Krabs: Approximationstheorie. 1973, S. 12 ff., S. 38 ff.
4. ↑ Günter Meinardus: Approximation von Funktionen und ihre numerische Behandlung. 1964, S. 1 ff.
5. ↑ Peter Kosmol, Dieter Müller-Wichards: Optimization in Function Spaces. 2011, S. 1 ff., S. 385
6. ↑ Weder auf den zahlentheoretischen Aspekt noch auf den in der Theorie der Differentialungleichungen wird hier eingegangen. Eine Darstellung zu den Minimallösungen der pellschen Gleichung findet man etwa in dem Lehrbuch „Einführung in die Zahlentheorie“ von Peter Bundschuh (Springer 1988). Der Begriff der Minimallösung einer Differentialungleichung wird kurz im dritten Band des Lexikons der Mathematik in sechs Bänden (Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg & Berlin 2001, S. 425) dargelegt.
7. ↑ ^{a b} Kosmol, op. cit., S. 8
8. ↑ Meinardus, op. cit., S. 63
9. ↑ Kosmol, op. cit., S. 98 ff.
10. ↑ Jürg T. Marti: Konvexe Analysis. 1977, S. 31
11. ↑ ^{a b} Guido Walz [Red.]: Lexikon der Mathematik. Erster Band. 2001, S. 202
12. ↑ Arnold Schönhage: Approximationstheorie. 1971, S. 8 ff., S. 148 ff.
13. ↑ Harro Heuser: Funktionalanalysis. 2006, S. 29 ff., S. 572 ff.
14. ↑ ^{a b} Gottfried Köthe: Topologische lineare Räume. I. 1966, S. 346 ff.
15. ↑ Kosmol, op. cit., S. 68 ff.
16. ↑ Ivan Singer: Best Approximation in Normed Linear Spaces by Elements of Linear Subspaces. 1970, S. 377 ff.
17. ↑ Kosmol, op. cit., S. 450
18. ↑ A. Wayne Roberts, Dale E. Varberg: Convex Functions. 1973, S. 122–128, S. 123
19. ↑ Kosmol, op. cit., S. 78
20. ↑ Kosmol, op. cit., S. 79
21. ↑ Kosmol, op. cit., S. 100–101
22. ↑ Kosmol, op. cit., S. 102
23. ↑ Kosmol, op. cit., S. 388 ff.
24. ↑ Kosmol, op. cit., S. 391
25. ↑ Kosmol, op. cit., S. 390
26. ↑ Kosmol, op. cit., S. 71
27. ↑ Kosmol / Müller-Wichards, op. cit., S. 142
28. ↑ Collatz, op. cit., S. 323
29. ↑ Meinardus, op. cit., S. 1
30. ↑ ^{a b} Meinardus, op. cit., S. 15–16
31. ↑ ^{a b} Rainer Hettich, Peter Zencke: Numerische Methoden der Approximation und semi-infiniten Optimierung. 1982, S. 115–116
32. ↑ Kosmol, op. cit., S. 401
33. ↑ Kosmol / Müller-Wichards, op. cit., S. 109
34. ↑ Kosmol, op. cit., S. 71
35. ↑ Kosmol / Müller-Wichards, op. cit., S. 134
36. ↑ Kosmol, op. cit., S. 69
37. ↑ Kosmol / Müller-Wichards, op. cit., S. 131
38. ↑ Kosmol, op. cit., S. 298
39. ↑ Kosmol / Müller-Wichards, op. cit., S. 12
40. ↑ ^{a b} Marti, op. cit., S. 58–59
41. ↑ Kosmol, op. cit., S. 68
42. ↑ Vgl. Hettich / Zencke, op. cit., S. 39! Hettich und Zencke führen den Beweis zwar nur für den Fall des Raums der auf einem Kompaktum des ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ stetigen reellwertigen Funktionen. Der Sachverhalt gilt jedoch offensichtlich allgemeiner.
43. ↑ Vgl. Marti, op. cit., S. 184! Marti erwähnt hier die Konvexitätsbedingung für die Funktion ${\displaystyle f}$ zwar nicht. Dies ist jedoch offenbar gemeint. Der hier dargestellte Sachverhalt gilt auch allgemein in normierten Räumen ${\displaystyle X}$.
44. ↑ Schönhage, op. cit., S. 15