Monoidring

Ein Monoidring kann als Verallgemeinerung eines Polynomrings aufgefasst werden. Dabei werden die Potenzen der Variablen durch Elemente aus einem Monoid ersetzt, was im Folgenden exakt definiert wird.

Sei ${\displaystyle R}$ ein kommutativer Ring mit Eins und ${\displaystyle G}$ ein Monoid, dann ist

${\displaystyle R[G]:=\{\alpha \colon G\to R{\ {\big |}\ }\alpha (x)=0{\text{ für alle bis auf endlich viele }}x\}\,}$

mit der Addition

${\displaystyle (\alpha +\beta )(x):=\alpha (x)+\beta (x)}$

und der Faltung

${\displaystyle (\alpha \beta )(z):=\sum _{xy=z}{\alpha (x)\beta (y)}}$

als Multiplikation ein Ring. Die Konstruktion ist der des Polynomrings nachempfunden. Man schreibt ${\displaystyle a\cdot x}$ oder einfach ${\displaystyle ax}$ für die Abbildung ${\displaystyle \alpha \in R[G]}$, die an der Stelle ${\displaystyle x}$ den Wert ${\displaystyle a}$ und ansonsten ${\displaystyle 0}$ annimmt. Beispielsweise gilt dann

${\displaystyle (a\cdot x)(b\cdot y)=(ab)\cdot (xy)\quad {\text{für }}a,b\in R{\text{ und }}x,y\in G.}$

${\displaystyle R[G]}$ besitzt ein Einselement, nämlich ${\displaystyle 1\cdot e}$, wobei ${\displaystyle 1}$ das Einselement von ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle e}$ das Neutralelement von ${\displaystyle G}$ ist.

Ist ${\displaystyle G}$ eine Gruppe, so heißt ${\displaystyle R[G]}$ Gruppenring oder Gruppenalgebra; auch die Schreibweise ${\displaystyle RG}$ ist üblich.

${\displaystyle R[G]}$ wird zur ${\displaystyle R}$-Algebra via ${\displaystyle r\sum _{i}r_{i}g_{i}:=\sum _{i}rr_{i}g_{i}}$

• ${\displaystyle R[G]}$ ist genau dann ein kommutativer Ring, wenn ${\displaystyle G}$ als Monoid kommutativ ist oder ${\displaystyle R}$ der Nullring ist.
• Jedes Element ${\displaystyle \alpha \in R[G]}$ lässt sich eindeutig schreiben als ${\displaystyle \alpha =\sum _{x\in G}a_{x}\cdot x}$ mit ${\displaystyle a_{x}:=\alpha (x)}$
• Falls ${\displaystyle R}$ nicht der Nullring ist, sind ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle G}$ auf natürliche Weise in ${\displaystyle R[G]}$ eingebettet, nämlich durch die injektiven Ring- bzw. Monoidhomomorphismen ${\displaystyle f_{0}\colon R\to R[G],~f_{0}(r)=r\cdot e}$ und ${\displaystyle f_{1}\colon G\to R[G],~f_{1}(x)=1\cdot x}$, wobei ${\displaystyle 1\cdot x}$ wie oben definiert ist.
• Falls ${\displaystyle R}$ der Nullring ist, dann ist ${\displaystyle R[G]}$ isomorph zum Nullring
• Falls ${\displaystyle G}$ ein Monoid ist, ${\displaystyle A,B}$ kommutative Ringe und ${\displaystyle f\colon A\to B}$ ein Ringhomomorphismus, dann gibt es einen eindeutigen Homomorphismus ${\displaystyle h\colon A[G]\to B[G]}$. sodass ${\displaystyle h\left(\sum _{x\in G}a_{x}x\right)=\sum _{x\in G}f(a_{x})x}$

Der Monoidring bzw. die Monoidalgebra kann auch – bis auf Isomorphie – über eine universelle Eigenschaft definiert werden. Seien ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle R}$ wie oben definiert. Es bezeichne ${\displaystyle \mathbf {Mon} }$ die Kategorie der Monoide und ${\displaystyle \mathbf {Alg_{R}} }$ die Kategorie der (assoziativen) ${\displaystyle R}$-Algebren. Sei ${\displaystyle U\colon \mathbf {Alg_{R}} \to \mathbf {Mon} }$ der Vergissfunktor, d. h. der Funktor, der jeder ${\displaystyle R}$-Algebra ihr multiplikatives Monoid zuordnet.

Dann ist die kanonische Einbettung ${\displaystyle \phi \colon G\to U(R[G]),g\mapsto 1g}$ universell, d. h.: Falls wir noch einen anderen Monoid-Homomorphismus ${\displaystyle f\colon G\to U(A)}$ in das multiplikative Monoid einer ${\displaystyle R}$-Algebra ${\displaystyle A}$ haben, dann existiert genau ein ${\displaystyle R}$-Algebra-Homomorphismus ${\displaystyle {\bar {f}}\colon R[G]\to A}$, so dass ${\displaystyle U({\bar {f}})\circ \phi =f}$.

In der obigen Konstruktion der Monoidalgebra sieht ${\displaystyle {\bar {f}}}$ wie folgt aus: ${\displaystyle {\bar {f}}\left(\sum _{i}r_{i}g_{i}\right)=\sum _{i}r_{i}f(g_{i})}$.

Wenn wir den Funktor, der jedem Monoid seine Monoidalgebra über ${\displaystyle R}$ zuordnet, mit ${\displaystyle F}$ bezeichnen, ist also ${\displaystyle F}$ linksadjungiert zu ${\displaystyle U}$. So erhalten wir eine sehr kurze Definition der Monoidalgebra, jedoch muss man immer noch die Existenz beweisen.

• ${\displaystyle R[\mathbb {N} _{0}]}$ ist isomorph zum Polynomring in einer Unbestimmten über ${\displaystyle R}$.
• Ist allgemeiner ${\displaystyle G}$ ein freies kommutatives Monoid in ${\displaystyle n}$ Erzeugern, so ist ${\displaystyle R[G]}$ isomorph zum Polynomring in ${\displaystyle n}$ Unbestimmten über ${\displaystyle R}$.

• Es sei ${\displaystyle G}$ eine lokalkompakte topologische Gruppe. Ist ${\displaystyle G}$ nicht diskret, so enthält der Gruppenring ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$ keine Information über die topologische Struktur von ${\displaystyle G}$. Deshalb nimmt seine Rolle die Faltungsalgebra der integrierbaren Funktionen ein: Sei ${\displaystyle \mu }$ ein linksinvariantes Haarmaß auf ${\displaystyle G}$, dann bildet der Raum ${\displaystyle L^{1}(G,\mu )}$ mit der Faltung

${\displaystyle (f*g)(\sigma )=\int _{G}f(\tau )g(\tau ^{-1}\sigma )\,\mathrm {d} \mu (\tau )}$

als Produkt eine Banachalgebra.

• Ist ${\displaystyle A}$ ein Ring und ${\displaystyle G}$ eine totalgeordnete Gruppe, deren Ordnung kompatibel mit der Gruppenoperation ist, d. h.

aus ${\displaystyle \alpha <\beta }$ und ${\displaystyle \gamma <\delta }$ folgt ${\displaystyle \alpha \gamma <\beta \delta }$,

so sei

${\displaystyle S(G,A)=\{f\colon G\to A\mid \operatorname {supp} f{\text{ wohlgeordnet}}\}}$

mit ${\displaystyle \operatorname {supp} f:=\{g\in G\mid f(g)\neq 0\}}$. Mit der Faltung als Multiplikation und der komponentenweisen Addition wird ${\displaystyle S(G,A)}$ zu einem Ring. Ist ${\displaystyle A}$ ein Körper, so ist ${\displaystyle S(G,A)}$ ein Schiefkörper. Ist beispielsweise ${\displaystyle G=\mathbb {Z} }$ mit der natürlichen Ordnung, so ist ${\displaystyle S(G,A)}$ der Ring der formalen Laurentreihen mit Koeffizienten in ${\displaystyle A}$.

• Serge Lang: Algebra, Graduate Texts in Mathematics, Revised Third Edition (Springer, 2002, ISBN 0-387-95385-X)