Die Pauli-Gleichung ist die von Wolfgang Pauli (1900–1958) angegebene[1] Erweiterung der Schrödingergleichung, um geladene Spin-1/2-Teilchen, etwa Elektronen in nicht-relativistischer Näherung zu beschreiben. Zusätzlich zu den Termen in der Schrödingergleichung für spinlose Teilchen enthält die Pauli-Gleichung einen Term, der den Spin mit dem Magnetfeld koppelt und der in der klassischen Physik keine Entsprechung hat. Damit kann man z. B. beim Stern-Gerlach-Versuch verstehen, warum ein Strahl von Silberatomen sich beim Durchfliegen eines inhomogenen Magnetfelds je nach Spin-Richtung in zwei Teilstrahlen aufspaltet.
Die Pauli-Gleichung lautet:
![{\displaystyle \mathrm {i} \,\hbar \,\partial _{t}\,\varphi =\underbrace {\left({\frac {({\vec {p}}-q{\vec {A}})^{2}}{2\,m}}+q\,\phi \right)} _{\text{Hamiltonoperator ohne Spin}}\,\varphi -g\,\underbrace {{\frac {q\,\hbar }{2\,m}}\,{\frac {\vec {\sigma }}{2}}\cdot {\vec {B}}} _{\text{Spin-Magnetfeld}}\,\varphi \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adeb529d402e8c8bf56d5c4d39a873123d8af91a)
Hier bezeichnet
die zweikomponentige Ortswellenfunktion (Paulispinor)
die
-te Komponente des Impulsoperators,
die elektrische Ladung und
die Masse des Teilchens,
das skalare elektrische Potential und
das magnetische Vektorpotential,
den gyromagnetischen Faktor,
die Pauli-Matrizen (mit dem Spin-Operator
),
das Magnetfeld.
In einem schwachen, homogenen Magnetfeld
koppelt nach der Pauli-Gleichung der Spin um den gyromagnetischen Faktor
stärker an das Magnetfeld als ein gleich großer Bahndrehimpuls
![{\displaystyle \mathrm {i} \,\hbar \,\partial _{t}\,\varphi ={\frac {{\vec {p}}^{2}}{2\,m}}\varphi -{\frac {q}{2\,m}}\,{\bigl (}{\vec {L}}+g\,{\vec {S}}{\bigr )}\cdot {\vec {B}}\,\varphi \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cd11572f120bc3161ed46affe52025d7dc8ffa2)
Man erhält die Pauli-Gleichung auch als nichtrelativistischen Grenzfall aus der Dirac-Gleichung, die das Verhalten von elementaren Spin-1/2-Teilchen mit oder ohne Ladung beschreibt. Dabei sagt die Diracgleichung den Wert
für den gyromagnetischen Faktor von Elektronen voraus. Dieser Wert kann auch ohne Einbeziehung relativistischer Annahmen aus der Linearisierung der Schrödingergleichung berechnet werden[2]. Die Quantenelektrodynamik korrigiert diesen Wert zu
![{\displaystyle g=2,002\,319\,304\,8(8)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/086e04c248ae80da6350d97edd1a5cd885c7116f)
Der theoretische Wert stimmt beim Elektron mit dem gemessenen Wert in den ersten 10 Dezimalen überein.
Herleitung aus der Dirac-Gleichung
Ausgehend von der Dirac-Gleichung für ein Teilchen im elektromagnetischen Feld, aufgespalten in zwei Zweierspinoren,
mit ![{\displaystyle {\vec {\pi }}={\vec {p}}-q\,{\vec {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42913f1f9cbc5341ffab4dfb6e64605d59d1a944)
unterstellt man, dass nach Abspalten der schnellen Zeitentwicklung, die von der Ruhenergie herrührt,
![{\displaystyle \left({\begin{array}{c}\varphi _{1}\\\varphi _{2}\end{array}}\right)=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\frac {\displaystyle m\,c^{2}\,t}{\displaystyle \hbar }}}\left({\begin{array}{c}\varphi \\\chi \end{array}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d3d9b766121d5b01bc996a9c531fd073b54323b)
die Zeitableitung der Zweierspinoren
und
klein ist.
![{\displaystyle \mathrm {i} \,\hbar \,\partial _{t}\,\left({\begin{array}{c}\varphi \\\chi \end{array}}\right)=c\,\left({\begin{array}{c}{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {\pi }}\,\chi \\{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {\pi }}\,\varphi \end{array}}\right)+q\,\phi \,\left({\begin{array}{c}\varphi \\\chi \end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}0\\-2\,m\,c^{2}\,\chi \end{array}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e540780097e3bc054ece51b1214f13df4e85c9d6)
In der Zeile
ist nach Annahme die Zeitableitung klein und die kinetischen Energien und die elektrostatische Energie klein gegen die Ruheenergie
Daher ist
klein gegen
und ungefähr gleich
![{\displaystyle \chi \approx {\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {\pi }}\,\varphi }{2\,m\,c}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3bd285042038c1fc209cf16668e22fc02b1284c)
In die erste Zeile eingesetzt ergibt sich
![{\displaystyle \mathrm {i} \,\hbar \,\partial _{t}\,\varphi ={\frac {({\vec {\sigma }}\cdot {\vec {\pi }})^{2}}{2\,m}}\,\varphi +q\,\phi \,\varphi \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9d6e6fc1bcda9bed6ddc5a9d216716ecda5c49b)
Für das Produkt der Pauli-Matrizen erhält man
![{\displaystyle ({\vec {\sigma }}\cdot {\vec {\pi }})^{\,2}=\sigma ^{i}\,\sigma ^{j}\pi ^{i}\pi ^{j}=(\delta ^{ij}+\mathrm {i} \varepsilon ^{ijk}\sigma ^{k})\pi ^{i}\pi ^{j}={\vec {\pi }}^{2}-q\,\hbar \,{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {B}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf5c4950d61bccc9314b746b5288bf8129385a26)
Der Spinor
genügt daher der Pauli-Gleichung mit
,
![{\displaystyle \mathrm {i} \,\hbar \,\partial _{t}\,\varphi ={\frac {{\vec {\pi }}^{\,2}}{2\,m}}\,\varphi +q\,\phi \,\varphi -{\frac {q\,\hbar }{2\,m}}\,{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {B}}\,\varphi \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c8499f994b6c1d644329aa5238de44b5bd13343)
Im homogenen Magnetfeld gilt
und unter Zuhilfenahme der Vertauschungsregeln des Spatproduktes folgt
![{\displaystyle ({\vec {p}}-q{\vec {A}})^{2}={\vec {p}}^{\,2}-q\,{\vec {x}}\times {\vec {p}}\cdot {\vec {B}}={\vec {p}}^{\,2}-q\,{\vec {L}}\cdot {\vec {B}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dd2c456b3d6a1048f8aebdc188b642a7ebcf601)
wenn man Terme vernachlässigt, die quadratisch in
sind. Dann besagt die Pauli-Gleichung
![{\displaystyle \mathrm {i} \,\hbar \,\partial _{t}\,\varphi ={\frac {{\vec {p}}^{\,2}}{2\,m}}\,\varphi -{\frac {q}{2\,m}}\,({\vec {L}}+g\,{\vec {S}})\cdot {\vec {B}}\,\varphi \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b379fff27f596f5dc89bed5ad1a8152b12bfe8b5)
Das Magnetfeld koppelt folglich nicht nur an den Bahndrehimpuls
und trägt nicht nur
zur Energie bei. Der Faktor
wird Magneton des Teilchens genannt. Im Spezialfall des Elektrons spricht man auch vom bohrschen Magneton.
In Drehimpulseigenzuständen ist
ein ganzzahliges Vielfaches der Magnetfeldstärke
Dagegen ergibt
ein halbzahliges Vielfaches, das erst nach Multiplikation mit g ganzzahlig wird. Bei isolierten Atomen oder Ionen muss man den Gesamt-Bahndrehimpuls und den Gesamt-Spindrehimpuls des Atoms bzw. Ions zu einem Gesamtdrehimpuls J (= L+S ) addieren und erhält den sog. Landé-Faktor g(L, S, J). Dieser ist 1 bei reinem Gesamt-Bahndrehimpuls und 2 bei reinem Gesamt-Spindrehimpuls und hat sonst von 1 und 2 verschiedene Werte. Wenn ferner die betroffenen Atome in einen Festkörper eingebaut sind, erhält man Zusatzbeiträge, die g wesentlich verändern können.
Literatur
- Franz Schwabl: Quantenmechanik (QM I). 5. erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 1998, ISBN 3-540-63779-6 (Springer-Lehrbuch).
- Franz Schwabl: Quantenmechanik für Fortgeschrittene (QM II). Springer, Berlin u. a. 1997, ISBN 3-540-63382-0 (Springer-Lehrbuch).
- Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloe: Quantum Mechanics. Volume 2. Wiley u. a., New York NY u. a. 1977, ISBN 0-471-16435-6 (A Wiley-Interscience Publication).
Einzelnachweise
- ↑ Wolfgang Pauli: Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons. In: Zeitschrift für Physik. Band 43, 1927, S. 601–623, doi:10.1007/BF01397326.
- ↑ Walter Greiner: Quantenmechanik. Einführung. Band 4, ISBN 3-8171-1765-5.