Ein
-Analogon (Pl.
-Analoga) ist ein mathematischer Begriff, welcher insbesondere in der Kombinatorik auftritt. Ein
-Analogon verallgemeinert dabei eine mathematische Aussage mit Hilfe eines zusätzlichen Parameters
, so dass man im Fall
wieder die ursprüngliche Aussage erhält. Der Begriff spielt auch eine wichtige Rolle in der Theorie der speziellen Funktionen insbesondere in der Theorie der
-Polynome.
Elementare Beispiele
Eine natürliche Zahl
besitzt das
-Analogon
![{\displaystyle [n]_{q}:={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=1+q+q^{2}+\cdots +q^{n-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1229d48f813c876ff707ad8166e1124d42311f44)
da
.
Kombinatorik
q-Fakultät
Die
-Fakultät ist für
[1]
![{\displaystyle [n]_{q}!:=[n]_{q}[n-1]_{q}\cdots [1]_{q}=\prod \limits _{k=1}^{n}{\frac {1-q^{k}}{1-q}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2df14de70919ff373013473c25be7314ac4c94f0)
und
.
Durch ausmultiplizieren erhält man
![{\displaystyle [n]_{q}!=1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b8f485fa026fd2038b3ec8cf0d9e87e3d40c4d7)
q-Pochhammer-Symbol
Das
-Pochhammer-Symbol, auch
-Shiftfakultät genannt, ist
![{\displaystyle (a;q)_{n}:=\prod \limits _{k=1}^{n}(1-aq^{k-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb2e16e00318be845f6aa61dd7b64a90aaf18993)
oder allgemeiner
![{\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}:=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2653173a787de73d785bfdf6334853dd1807fca)
q-Binomialkoeffizient
Der
-Binomialkoeffizient ist
![{\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}:={\frac {[n]_{q}!}{[k]_{q}![n-k]_{q}!}}=\prod \limits _{j=1}^{k}{\frac {(1-q^{n-j+1})}{(1-q^{j})}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acf9a19e087b5154a568627a24edf726cc23290e)
Eigenschaften
Es gilt
![{\displaystyle [n]_{q}!={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44a4a802c46c694da369a6ec8eb99270e1a0ff9b)
und
![{\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}={\frac {(q;q)_{n}}{(q;q)_{k}(q;q)_{n-k}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/238c95298c74c6bd84b5cef6e77c722016f02050)
q-Spezielle Funktionen
q-hypergeometrische Funktion
Das
-Analogon der verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion ist die
-hypergeometrische Funktion[1]
![{\displaystyle \;_{r}\phi _{s}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{r}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{s}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r};q)_{n}}{(q,b_{1},b_{2},\ldots ,b_{s};q)_{n}}}z^{n}\left(-q^{(n-1)/2}\right)^{n(s+1-r)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ee6cb2d96fb9effb761102d5e9107862f3da590)
q-orthogonale Polynome
Die stetigen
-Hermitischen Polynome
sind durch folgende Rekursion gegeben[2]
![{\displaystyle 2xH_{n}(x\mid q)=H_{n+1}(x\mid q)+(1-q^{n})H_{n-1}(x\mid q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf4c396f0ee15ae61bf646ac867787f27ade575e)
mit Anfangswerten
![{\displaystyle H_{0}(x\mid q)=1,H_{1}(x\mid q)=2x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1c439b7117c3ab86f8d11a6ccdcfd6500190b8b)
Analysis
Das
-Analogon der Exponentialfunktion ist
![{\displaystyle e_{q}^{x}:=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{[n]_{q}!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3e67725d2471da70f47286cf5c9ffbce92d0d2d)
q-Kalkül
Das
-Analogon der Ableitung einer Funktion
ist die Q-Differenz
![{\displaystyle (D_{q}f)(x)={\frac {f(x)-f(qx)}{(1-q)x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fd592f62fcfbc8d9510b79aa395d92bcc827d50)
dadurch entsteht das sogenannte
-Kalkül.
q-Taylorreihe
Das
-Analogon von
ist
![{\displaystyle (x-a)_{q}^{n}:=\prod \limits _{k=0}^{n-1}(x-q^{k}a),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3cb2a7ae0e5f8e7d0a1bac59ddeb3d8760e9260)
zusammen mit der
-Differenz und der
-Fakultät lässt sich nun ein
-Analogon zur Taylorreihe für
herleiten
![{\displaystyle f(x)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {D_{q}^{n}f(a)(x-a)_{q}^{n}}{[n]_{q}!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d2e2a813996d5e4dc4085e03738ee561a753721)
Literatur
- Mourad E.H. Ismail: Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable. Hrsg.: Cambridge University Press. 2005, doi:10.1017/CBO9781107325982.
Einzelnachweise
- ↑ a b Mourad E.H. Ismail: Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable. Hrsg.: Cambridge University Press. 2005, S. 299, doi:10.1017/CBO9781107325982.
- ↑ Mourad E.H. Ismail: Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable. Hrsg.: Cambridge University Press. 2005, S. 319, doi:10.1017/CBO9781107325982.