Reine Untergruppe

Reine Untergruppen spielen in der Theorie der abelschen (kommutativen) Gruppen eine wichtige Rolle. Ist ${\displaystyle A}$ eine abelsche Gruppe und ${\displaystyle U\hookrightarrow A}$ eine Untergruppe, so kann man eine Gleichung der Form ${\displaystyle u=n\cdot x}$, die in ${\displaystyle A}$ lösbar ist, normalerweise nicht in ${\displaystyle U}$ lösen. Das heißt gibt es ein ${\displaystyle a\in A}$ mit ${\displaystyle u=n\cdot a}$, so braucht es kein ${\displaystyle v\in U}$ zu geben, das ich für ${\displaystyle x}$ einsetzen kann. So ist die Gleichung ${\displaystyle 1=2\cdot x}$ in ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ lösbar, aber nicht in der Menge der ganzen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ . Bei reinen Untergruppen ist dies stets möglich.

1. Es sei ${\displaystyle U}$ eine Untergruppe der abelschen Gruppe ${\displaystyle A}$. Sind ${\displaystyle u\in U}$ und ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, so heißt eine Gleichung ${\displaystyle u=n\cdot x}$ lösbar in ${\displaystyle A}$, wenn es ein ${\displaystyle a\in A}$ gibt, so dass ${\displaystyle u=n\cdot a}$ gilt.
2. Die Gleichung heißt lösbar in ${\displaystyle U}$, wenn es ein ${\displaystyle v\in U}$ gibt mit ${\displaystyle u=n\cdot v}$. Ist zum Beispiel ${\displaystyle U=\mathbb {Z} }$ und ${\displaystyle A=\mathbb {Q} }$, so ist die Gleichung ${\displaystyle 1=2\cdot x}$ in ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ lösbar aber nicht in ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.
3. Eine Untergruppe ${\displaystyle U}$ der abelschen Gruppe ${\displaystyle A}$ heißt rein, wenn jede in ${\displaystyle A}$ lösbare Gleichung ${\displaystyle u=n\cdot x}$ mit ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,u\in U}$ auch in ${\displaystyle U}$ lösbar ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn für alle natürlichen Zahlen ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ gilt: ${\displaystyle U\cdot n=U\cap A\cdot n}$. Dabei ist ${\displaystyle U\cdot n=\{u\cdot n|u\in U\}}$.
4. Ist ${\displaystyle p}$ eine Primzahl, so ist ${\displaystyle U\subset A}$ p-rein, wenn für alle ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ gilt: ${\displaystyle U\cdot p^{k}=A\cdot p^{k}}$.^[1][2]

1. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ist in ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ nicht rein. Denn die Gleichung ${\displaystyle 1=2\cdot x}$ ist in ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ lösbar aber nicht in ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.
2. ${\displaystyle 0}$ ist in jeder Gruppe rein.
3. Eine Gruppe ${\displaystyle A}$ heißt teilbar, wenn für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ gilt: ${\displaystyle A\cdot n=A}$. Eine teilbare Gruppe ist in jeder Obergruppe rein.
4. Jeder direkte Summand ${\displaystyle U\hookrightarrow A}$ einer Gruppe ${\displaystyle A}$ ist rein in ${\displaystyle A}$.
5. Ist ${\displaystyle (A_{i}|i\in I)}$ eine Familie von Gruppen, so ist ${\displaystyle \textstyle \coprod _{i\in I}A_{i}}$ rein in ${\displaystyle \textstyle \prod _{i\in I}A_{i}}$.
6. Die Torsionsuntergruppe ${\displaystyle T(A)}$ von ${\displaystyle A}$ ist rein in ${\displaystyle A}$ und im Allgemeinen kein direkter Summand. Allgemeiner gilt: Ist ${\displaystyle B}$ eine Untergruppe von ${\displaystyle A}$ und die Faktorgruppe ${\displaystyle A/B}$ torsionsfrei, so ist ${\displaystyle B}$ rein in ${\displaystyle A}$.^[3]

Es seien ${\displaystyle C\hookrightarrow B\hookrightarrow A}$ Untergruppen. Dann gilt:

• Ist ${\displaystyle C}$ rein in ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle B}$ rein in ${\displaystyle A}$, so ist ${\displaystyle C}$ rein in ${\displaystyle A}$.
• Ist ${\displaystyle B}$ rein in ${\displaystyle A}$ so ist ${\displaystyle B/C}$ rein in ${\displaystyle A/C}$.
• Ist ${\displaystyle (A_{n}|n\in \mathbb {N} )}$ eine aufsteigende Kette reiner Untergruppen von ${\displaystyle A}$ , so ist ${\displaystyle \bigcup \limits _{n\in \mathbb {N} }A_{n}}$ eine reine Untergruppe von ${\displaystyle A}$.

Eine kurze exakte Folge

${\displaystyle 0\rightarrow A{\overset {\alpha }{\rightarrow }}B{\overset {\beta }{\rightarrow }}C\rightarrow 0}$

abelscher Gruppen heißt rein exakte Folge, wenn ${\displaystyle \alpha (A)}$ rein in ${\displaystyle B}$ ist. Ist ${\displaystyle A}$ eine abelsche Gruppe und ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ so bezeichnet man mit ${\displaystyle A[n]:=\{a|a\in A,a\cdot n=0\}}$.

Folgende Aussagen für eine exakte Folge abelscher Gruppen sind äquivalent:

• ${\displaystyle 0\rightarrow n\cdot A\rightarrow n\cdot B\rightarrow n\cdot C\rightarrow 0}$ ist exakt für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.
• ${\displaystyle 0\rightarrow A[n]\rightarrow B[n]\rightarrow C[n]\rightarrow 0}$ ist exakt für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.
• ${\displaystyle 0\rightarrow A/nA\rightarrow B/nB\rightarrow C/nC\rightarrow 0}$ ist exakt für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.
• Die exakte Folge ist rein exakt.^[1]

1. ↑ ^{a b} Lázló Fuchs: "Abelian Groups" im Kapitel "Purity and Basic Subgroups"
2. ↑ Phillip A.Griffith in "Infinite abelian group theory" im Kapitel "Purity, Basic Subgroups, ...". Chicago Lectures in Mathematics
3. ↑ László Fuchs: Abelian Groups. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2015, ISBN 978-3-319-19421-9, S. 150. 

• László Fuchs: Abelian Groups. (= Springer Monographs in Mathematics). Springer International, 2016, ISBN 978-3-319-19421-9.