Reine Untergruppen spielen in der Theorie der abelschen (kommutativen) Gruppen eine wichtige Rolle. Ist
eine abelsche Gruppe und
eine Untergruppe, so kann man eine Gleichung der Form
, die in
lösbar ist, normalerweise nicht in
lösen. Das heißt gibt es ein
mit
, so braucht es kein
zu geben, das ich für
einsetzen kann. So ist die Gleichung
in
lösbar, aber nicht in der Menge der ganzen Zahlen
. Bei reinen Untergruppen ist dies stets möglich.
Definition
- Es sei
eine Untergruppe der abelschen Gruppe
. Sind
und
, so heißt eine Gleichung
lösbar in
, wenn es ein
gibt, so dass
gilt. - Die Gleichung heißt lösbar in
, wenn es ein
gibt mit
. Ist zum Beispiel
und
, so ist die Gleichung
in
lösbar aber nicht in
. - Eine Untergruppe
der abelschen Gruppe
heißt rein, wenn jede in
lösbare Gleichung
mit
auch in
lösbar ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn für alle natürlichen Zahlen
gilt:
. Dabei ist
. - Ist
eine Primzahl, so ist
p-rein, wenn für alle
gilt:
.[1][2]
Beispiele
ist in
nicht rein. Denn die Gleichung
ist in
lösbar aber nicht in
.
ist in jeder Gruppe rein. - Eine Gruppe
heißt teilbar, wenn für alle
gilt:
. Eine teilbare Gruppe ist in jeder Obergruppe rein. - Jeder direkte Summand
einer Gruppe
ist rein in
. - Ist
eine Familie von Gruppen, so ist
rein in
. - Die Torsionsuntergruppe
von
ist rein in
und im Allgemeinen kein direkter Summand. Allgemeiner gilt: Ist
eine Untergruppe von
und die Faktorgruppe
torsionsfrei, so ist
rein in
.[3]
Einfache Tatsachen
Es seien
Untergruppen. Dann gilt:
- Ist
rein in
und
rein in
, so ist
rein in
. - Ist
rein in
so ist
rein in
. - Ist
eine aufsteigende Kette reiner Untergruppen von
, so ist
eine reine Untergruppe von
.
Rein exakte Folgen
Eine kurze exakte Folge
![{\displaystyle 0\rightarrow A{\overset {\alpha }{\rightarrow }}B{\overset {\beta }{\rightarrow }}C\rightarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36d2f2615b4fa92cd77f28deda631abf18781fa4)
abelscher Gruppen heißt rein exakte Folge, wenn
rein in
ist. Ist
eine abelsche Gruppe und
so bezeichnet man mit
.
Folgende Aussagen für eine exakte Folge abelscher Gruppen sind äquivalent:
ist exakt für alle
.
ist exakt für alle
.
ist exakt für alle
. - Die exakte Folge ist rein exakt.[1]
Einzelnachweise
- ↑ a b Lázló Fuchs: "Abelian Groups" im Kapitel "Purity and Basic Subgroups"
- ↑ Phillip A.Griffith in "Infinite abelian group theory" im Kapitel "Purity, Basic Subgroups, ...". Chicago Lectures in Mathematics
- ↑ László Fuchs: Abelian Groups. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2015, ISBN 978-3-319-19421-9, S. 150.
Literatur
- László Fuchs: Abelian Groups. (= Springer Monographs in Mathematics). Springer International, 2016, ISBN 978-3-319-19421-9.