Ein Riesz-Raum ist ein Vektorraum mit einer Verbandsstruktur, die so beschaffen ist, dass sich die lineare und die Verbandsstruktur vertragen. Im Jahr 1928 wurde dieser Raum von Frigyes Riesz definiert[1] und trägt deshalb heute seinen Namen.
Definition
Sei
ein
-Vektorraum und
eine halbgeordnete Menge.
Dann heißt
ein Riesz-Raum wenn folgende Axiome erfüllt sind:
- Für alle
gilt:
. - Für alle
gilt:
und
.
ist ein Verband.
Weiter notiert man
und
.
Weitere Begriffe
- Für eine Menge
ist
und
. - Für ein Element
definiert man den positiven und negative Teil
und
. - Der Modulus von
ist definiert als
. - Zwei Elemente
sind disjunkt
wenn für ihre Moduli
gilt. - Sei
eine beliebige Menge und
, dann definieren wir
, das heißt die Menge der zu
disjunkten Elemente. - Eine Teilmenge
ist vollständig wenn
impliziert das
, das heißt es gilt
. - Eine Teilmenge
ist solide oder normal, falls für jedes
und ein beliebiges
mit
auch
gilt. - Die Menge
nennt man das von
generierte Band. Für eine einelementige Menge
nennt man
das Prinzipalband.[2]
Anmerkungen
- 1. und 2. bedeuten
ist ein geordneter Vektorraum. - Bei der Formulierung von 2. ist zu beachten, dass
sich sowohl auf
, als auch auf
bezieht, aus dem Zusammenhang ist meistens klar, welche Ordnungsrelation gemeint ist, so dass üblicherweise auf zusätzliche Indizes verzichtet wird. - 2. lässt sich auch durch die schwächere Forderung
und
ersetzen. - Bezeichnen
die Verbandsoperationen, so ist es Konvention, dass
stärker binden, als
(Klammerregel).
Erste Eigenschaften
Für
und
gelten folgende Rechenregeln:
und ![{\displaystyle (f+h)\land (g+h)=(f\land g)+h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a28eb68b1738a574ecf9251441707d0050cf9b64)
und ![{\displaystyle (af)\land (ag)=a(f\land g)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38e322fe068fb29b6a85e0291f4d9bf1cfce8525)
und ![{\displaystyle (-f)\land (-g)=-(f\lor g)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0efcb806a92a1b0bbea250d844d7692a41a60edf)
- Sei
für
.
- Dann gilt
und
.
und ![{\displaystyle (f\lor g)-(f\land g)=|f-g|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/086662acc8255657e11d485e026406785449386e)
und ![{\displaystyle (f\land g)\lor h=(f\lor h)\land (g\lor h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72104f67a4cdc5e7d1604d8e124f1a37792eecdb)
- Dies bedeutet jeder Riesz-Raum ist ein distributiver Verband.
Beispiele
- Die reellen Zahlen
mit der üblichen Anordnung
bilden einen Riesz-Raum. - Der
mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz-Raum. - Die Menge der reellen Zahlenfolgen
mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz-Raum. - Die Menge der reellen Nullfolgen
mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz-Raum. - Für
ist
mit komponentenweiser Anordnung ein Riesz-Raum. - Die Menge der beschränkten reellen Folgen
mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz-Raum. - Die Menge der stetigen Funktionen
auf einem Intervall
bildet mit punktweiser Anordnung einen Riesz-Raum. - Die Menge der stetig differenzierbaren Funktionen
auf einem Intervall
bildet einen geordneten Vektorraum mit der punktweisen Anordnung, aber keinen Riesz-Raum.
Integrationstheorie
Riesz-Räume bieten Voraussetzungen für eine abstrakte Maß- und Integrationstheorie. Die zentrale Aussage in diesem Zusammenhang ist der Spektralsatz von Freudenthal. Dieser Satz garantiert für Riesz-Räume auf abstrakte Weise die Approximationseigenschaft von Funktionen durch Treppenfunktionen. Der Satz von Radon-Nikodým und die Poissonsche Summenformel für beschränkte harmonische Funktionen auf der offenen Kreisscheibe sind Spezialfälle des Spektralsatzes von Freudenthal. Dieser Spektralsatz war einer der Ausgangspunkte für die Theorie der Riesz-Räume.
Einzelnachweise
- ↑ Riesz, Frigyes: Sur la décomposition des opérations fonctionelles linéaires, Atti congress. internaz. mathematici (Bologna, 1928), 3, Zanichelli (1930) pp. 143–148
- ↑ Martin R. Weber: Finite Elements in Vector Lattices. Hrsg.: De Gruyter, Deutschland. 2014, S. 8.
Literatur
- Luxemburg, W.A.J. & Zaanen, A.C.: "Riesz spaces", North-Holland, 1971, ISBN 978-0444866264
- V. I. Sobolev: Riesz space. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).