Riesz-Raum

Ein Riesz-Raum ist ein Vektorraum mit einer Verbandsstruktur, die so beschaffen ist, dass sich die lineare und die Verbandsstruktur vertragen. Im Jahr 1928 wurde dieser Raum von Frigyes Riesz definiert^[1] und trägt deshalb heute seinen Namen.

Sei ${\displaystyle (X,+,\cdot )}$ ein ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Vektorraum und ${\displaystyle (X,\leq )}$ eine halbgeordnete Menge.

Dann heißt ${\displaystyle (X,+,\cdot ,\leq )}$ ein Riesz-Raum wenn folgende Axiome erfüllt sind:

1. Für alle ${\displaystyle f,g,h\in X}$ gilt: ${\displaystyle f\leq g\Rightarrow f+h\leq g+h}$.
2. Für alle ${\displaystyle f,g\in X}$ gilt: ${\displaystyle 0\leq a\in \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle f\leq g\Rightarrow a\cdot f\leq a\cdot g}$.
3. ${\displaystyle (X,\leq )}$ ist ein Verband.

Weiter notiert man ${\displaystyle x\vee y=\sup(x,y)}$ und ${\displaystyle x\wedge y=\inf(x,y)}$.

• Für eine Menge ${\displaystyle A\subset X}$ ist ${\displaystyle \sup(A)=\bigvee _{x\in A}x=\sup\{x\colon x\in A\}}$ und ${\displaystyle \inf(A)=\bigwedge _{x\in A}x=\inf\{x\colon x\in A\}}$.
• Für ein Element ${\displaystyle x\in X}$ definiert man den positiven und negative Teil ${\displaystyle x^{+}:=x\vee 0}$ und ${\displaystyle x^{-}:=(-x)^{+}=-x\vee 0}$.
• Der Modulus von ${\displaystyle x}$ ist definiert als ${\displaystyle |x|:=x\vee (-x)}$.
• Zwei Elemente ${\displaystyle x,y\in X}$ sind disjunkt ${\displaystyle x\perp y}$ wenn für ihre Moduli ${\displaystyle |x|\wedge |y|=0}$ gilt.
• Sei ${\displaystyle M\subset X}$ eine beliebige Menge und ${\displaystyle M\neq \emptyset }$, dann definieren wir ${\displaystyle M^{\perp }=\{x\in X\colon (\forall y\in M)\;x\perp y\}}$, das heißt die Menge der zu ${\displaystyle M}$ disjunkten Elemente.
• Eine Teilmenge ${\displaystyle M\subset X}$ ist vollständig wenn ${\displaystyle M\perp x}$ impliziert das ${\displaystyle x=0}$, das heißt es gilt ${\displaystyle M^{\perp }=0}$.
• Eine Teilmenge ${\displaystyle M\subset X}$ ist solide oder normal, falls für jedes ${\displaystyle x\in E}$ und ein beliebiges ${\displaystyle y\in M}$ mit ${\displaystyle |x|\leq |y|}$ auch ${\displaystyle x\in M}$ gilt.
• Die Menge ${\displaystyle M^{\perp \perp }}$ nennt man das von ${\displaystyle M}$ generierte Band. Für eine einelementige Menge ${\displaystyle \{x\}}$ nennt man ${\displaystyle \{x\}^{\perp \perp }}$ das Prinzipalband.^[2]

• 1. und 2. bedeuten ${\displaystyle (X,+,\cdot ,\leq )}$ ist ein geordneter Vektorraum.
• Bei der Formulierung von 2. ist zu beachten, dass ${\displaystyle \leq }$ sich sowohl auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$, als auch auf ${\displaystyle X}$ bezieht, aus dem Zusammenhang ist meistens klar, welche Ordnungsrelation gemeint ist, so dass üblicherweise auf zusätzliche Indizes verzichtet wird.
• 2. lässt sich auch durch die schwächere Forderung ${\displaystyle 0\leq a}$ und ${\displaystyle \mathbf {0} \leq f\Rightarrow \mathbf {0} \leq a\cdot f}$ ersetzen.
• Bezeichnen ${\displaystyle \land ,\lor }$ die Verbandsoperationen, so ist es Konvention, dass ${\displaystyle \land ,\lor }$ stärker binden, als ${\displaystyle +,\cdot }$ (Klammerregel).

Für ${\displaystyle f,g,h\in X}$ und ${\displaystyle 0\leq a\in \mathbb {R} }$ gelten folgende Rechenregeln:

• ${\displaystyle (f+h)\lor (g+h)=(f\lor g)+h}$ und ${\displaystyle (f+h)\land (g+h)=(f\land g)+h}$
• ${\displaystyle (af)\lor (ag)=a(f\lor g)}$ und ${\displaystyle (af)\land (ag)=a(f\land g)}$
• ${\displaystyle (-f)\lor (-g)=-(f\land g)}$ und ${\displaystyle (-f)\land (-g)=-(f\lor g)}$
• Sei ${\displaystyle |f|:=f\lor (-f)}$ für ${\displaystyle f\in X}$.

Dann gilt ${\displaystyle f\lor g={\tfrac {1}{2}}(f+g+|f-g|)}$ und ${\displaystyle f\land g={\tfrac {1}{2}}(f+g-|f-g|)}$.

• ${\displaystyle (f\lor g)+(f\land g)=f+g}$ und ${\displaystyle (f\lor g)-(f\land g)=|f-g|}$
• ${\displaystyle (f\lor g)\land h=(f\land h)\lor (g\land h)}$ und ${\displaystyle (f\land g)\lor h=(f\lor h)\land (g\lor h)}$

Dies bedeutet jeder Riesz-Raum ist ein distributiver Verband.

• Die reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ mit der üblichen Anordnung ${\displaystyle \leq }$ bilden einen Riesz-Raum.
• Der ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz-Raum.
• Die Menge der reellen Zahlenfolgen ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz-Raum.
• Die Menge der reellen Nullfolgen ${\displaystyle c_{0}}$ mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz-Raum.
• Für ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ist ${\displaystyle l_{p}}$ mit komponentenweiser Anordnung ein Riesz-Raum.
• Die Menge der beschränkten reellen Folgen ${\displaystyle l_{\infty }}$ mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz-Raum.
• Die Menge der stetigen Funktionen ${\displaystyle {\mathcal {C}}[a,b]}$ auf einem Intervall ${\displaystyle [a,b]}$ bildet mit punktweiser Anordnung einen Riesz-Raum.
• Die Menge der stetig differenzierbaren Funktionen ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}[a,b]}$ auf einem Intervall ${\displaystyle [a,b]}$ bildet einen geordneten Vektorraum mit der punktweisen Anordnung, aber keinen Riesz-Raum.

Riesz-Räume bieten Voraussetzungen für eine abstrakte Maß- und Integrationstheorie. Die zentrale Aussage in diesem Zusammenhang ist der Spektralsatz von Freudenthal. Dieser Satz garantiert für Riesz-Räume auf abstrakte Weise die Approximationseigenschaft von Funktionen durch Treppenfunktionen. Der Satz von Radon-Nikodým und die Poissonsche Summenformel für beschränkte harmonische Funktionen auf der offenen Kreisscheibe sind Spezialfälle des Spektralsatzes von Freudenthal. Dieser Spektralsatz war einer der Ausgangspunkte für die Theorie der Riesz-Räume.

1. ↑ Riesz, Frigyes: Sur la décomposition des opérations fonctionelles linéaires, Atti congress. internaz. mathematici (Bologna, 1928), 3, Zanichelli (1930) pp. 143–148
2. ↑ Martin R. Weber: Finite Elements in Vector Lattices. Hrsg.: De Gruyter, Deutschland. 2014, S. 8. 

• Luxemburg, W.A.J. & Zaanen, A.C.: "Riesz spaces", North-Holland, 1971, ISBN 978-0444866264
• V. I. Sobolev: Riesz space. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).