In der Mathematik ist der Satz vom höchsten Gewicht ein auf Elie Cartan zurückgehender grundlegender Lehrsatz der Darstellungstheorie. Er besagt, dass endlichdimensionale Darstellungen von Lie-Algebren oder Lie-Gruppen durch ihr höchstes Gewicht eindeutig bestimmt sind.
Verwendete Begriffe
Sei
eine Lie-Algebra,
eine Cartan-Unteralgebra und
eine Darstellung. Eine lineare Abbildung
![{\displaystyle \lambda \colon {\mathfrak {h}}\to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72a79794bd104debab8b7cd061dbb842834d873c)
heißt Gewicht von
, wenn der Gewichtsraum
![{\displaystyle V_{\lambda }=\left\{v\in V\colon \pi (h)v=\lambda (h)v\ \forall h\in {\mathfrak {h}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2649a74f55f26a2423647ab74c7f2e20e9224970)
nicht nur aus dem Nullvektor besteht.
Die Wurzeln
der Lie-Algebra sind definiert wie folgt. Zu
definiere
durch
,
wobei
die Killing-Form ist. Dann ist
genau dann eine Wurzel, wenn
ein Gewicht der adjungierten Darstellung
ist.
Nach Wahl einer Weyl-Kammer
kann man die Menge der positiven Wurzeln definieren durch
.
Dies erlaubt die Definition einer Teilordnung auf den Gewichten einer gegebenen Darstellung durch
.
Ein Gewicht heißt ein höchstes Gewicht, wenn es kein größeres Gewicht bzgl. dieser Teilordnung gibt.
Weiterhin heißt eine lineare Abbildung
ein integrales Element, wenn
![{\displaystyle \lambda (\alpha )\in \mathbb {Z} \ \ \forall \alpha \in R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/382d79a7db78a22cd72b9c7c41c925c4a263fdf5)
gilt. Es heißt ein dominantes integrales Element, wenn
![{\displaystyle \lambda (\alpha )\in \mathbb {N} \ \ \forall \alpha \in R^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d3cf69b21afa1ed98027f749ebd958ce486dd50)
ist.
Satz vom höchsten Gewicht
Sei
eine halbeinfache komplexe Lie-Algebra. Im Folgenden seien alle Darstellungen endlich-dimensional. Dann besagt der Satz vom höchsten Gewicht:
- Jede irreduzible Darstellung hat ein eindeutiges höchstes Gewicht.
- Zwei irreduzible Darstellungen mit demselben höchsten Gewicht sind äquivalent.
- Das höchste Gewicht einer irreduziblen Darstellung ist ein dominantes integrales Element.
- Jedes dominante integrale Element ist das höchste Gewicht einer irreduziblen Darstellung.
Beispiele
sl(2,C)
Eine Cartan-Unteralgebra von
ist
, als positive Wurzel kann man
wählen. Für jedes
hat man ein dominantes integrales Element
gegeben durch die Abbildung
.
Dieses entspricht der bekannten
-dimensionalen irreduziblen Darstellung (siehe Darstellungstheorie der sl(2,C)) als
, wobei
die definierende 2-dimensionale Darstellung von
bezeichnet.
sl(3,C)
Eine Cartan-Unteralgebra von
ist
,
als positive Wurzeln kann man
und
wählen. Für jedes Paar
hat man ein dominantes integrales Element
gegeben durch die Abbildung
.
Die zugehörige Darstellung
ist eine Unterdarstellung von
, wobei
die definierende 3-dimensionale Darstellung von
bezeichnet. Genauer stimmt
mit
überein für die durch
![{\displaystyle \iota _{m,n}(v_{1}\ldots v_{m}\otimes v_{1}^{*}\ldots v_{n}^{*})=\sum _{i,j}v_{j}^{*}(v_{i})v_{1}\ldots {\widehat {v_{i}}}\ldots v_{m}\otimes v_{1}^{*}\ldots {\widehat {v_{j}^{*}}}\ldots v_{n}^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c94bbd531e6b658ef7287cfa54ce19872f21dbc)
definierte Kontraktion.
Darstellungen von Lie-Gruppen
Jeder Darstellung einer Lie-Gruppe kann man eine Darstellung ihrer Lie-Algebra zuordnen, siehe Darstellung (Lie-Algebra)#Von Lie-Gruppen-Darstellungen induzierte Darstellungen. Insbesondere kann man auch für Darstellungen von Lie-Gruppen ein höchstes Gewicht definieren.
Irreduzible, endlich-dimensionale Darstellungen einer kompakten, zusammenhängenden (nicht notwendig halbeinfachen) Lie-Gruppe werden durch ihr höchstes Gewicht klassifiziert. Auch dieser Sachverhalt wird häufig als Satz vom höchsten Gewicht bezeichnet.
Literatur
- Brian Hall: Lie groups, Lie algebras, and representations. An elementary introduction. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 222. Springer, Cham 2015. ISBN 978-3-319-13466-6