Selbergs zentraler Grenzwertsatz
Selbergs zentraler Grenzwertsatz ist ein mathematischer Satz aus der stochastischen Zahlentheorie, welcher die Verteilung der riemannschen Zeta-Funktion auf der kritischen Gerade charakterisiert. Der Satz sagt im Wesentlichen, dass sich die Verteilung der Absolutwerte
unter korrekter Normierung der Log-Normalverteilung annähert. Die stochastische Komponente kommt dabei von , welches man aus einem beliebigen aber großen Interval unter der Gleichverteilung zieht. Verzichtet man auf die Betragsstriche, so nähert sich die Verteilung der komplexen Log-Normalverteilung.
Das Theorem wurde 1946 in etwas anderer Form von Atle Selberg bewiesen. Er bewies eine leicht stärkere Aussage für das -te Moment von , welche das Theorem für das Argument impliziert.[1][2] Die heutige Fassung stammt von Selberg und Tsang.[3]
Die Aussage benötigt die riemannsche Vermutung nicht.
Selbergs zentraler Grenzwertsatz
Notation:
- ist die komplexe Standardnormalverteilung, das heißt
- ist die stetige Gleichverteilung auf .
Komplexe Variante des Theorems
Sei eine genügend große Zahl und . Definiere , dann konvergiert die Zufallsvariable in Verteilung zu einer komplexen Normalverteilung.
In Formeln:
Reelle Variante des Theorems
Aus der Beziehung
folgt insbesondere für den reellen Teil
und für den imaginären Teil
Erläuterungen
Die Zufallsvariable nähert sich einer zentrierten Log-Normalverteilung mit ungefährer Log-Varianz
Entfernen von Log(0)
Der Satz gilt auch für die Zufallsvariable
Selbergs Variante für den k-ten Moment
Selberg bewies für positive ganzzahlige [4]
Der Fall wurde von Selberg auch untersucht und er lieferte eine Beweismöglichkeit, aber vollständig bewiesen wurde die Aussage für den Absolutwert erst 1984 durch Tsang.[3]
Selberg erkannte, dass dies die Momente einer zentrierten gaußschen Zufallsvariable sind, und folgerte daraus
wobei das Lebesgue-Maß bezeichnet.
Literatur
- Maksym Radziwiłł und Kannan Soundararajan: Selberg's central limit theorem for . Hrsg.: arXiv. 2015, doi:10.48550/ARXIV.1509.06827, arxiv:1509.06827 [abs].
- Ciprian Tudor: Multidimensional Selberg theorem and fluctuations of the zeta zeros via Malliavin calculus. Hrsg.: arXiv. 2016, doi:10.48550/ARXIV.1601.02515, arxiv:1601.02515 [abs].
- Patrick Kühn: On Selberg’s central limit theorem. Hrsg.: ETH Zürich. 2011 (researchgate.net – Masterarbeit).
- Terence Tao: Selberg’s limit theorem for the Riemann zeta function on the critical line. 2009, abgerufen am 7. August 2022 (Blog Artkel).
Einzelnachweise
- ↑ Atle Selberg: Contributions to the theory of the Riemann zeta-function. In: Arch. Math. Naturvid. Band 48, Nr. 5, 1946, S. 89–155.
- ↑ Ciprian Tudor: Multidimensional Selberg theorem and fluctuations of the zeta zeros via Malliavin calculus. Hrsg.: arXiv. 2016, doi:10.48550/ARXIV.1601.02515, arxiv:1601.02515 [abs].
- ↑ a b Kai Man Tsang: The distribution of the values of the Riemann zeta-function. Hrsg.: Princeton University. Oktober 1984 (Doktorarbeit).
- ↑ Patrick Kühn: On Selberg’s central limit theorem. Hrsg.: ETH Zürich. 2011, S. 7 (researchgate.net – Masterarbeit).