Selbergs zentraler Grenzwertsatz

Selbergs zentraler Grenzwertsatz ist ein mathematischer Satz aus der stochastischen Zahlentheorie, welcher die Verteilung der riemannschen Zeta-Funktion auf der kritischen Gerade charakterisiert. Der Satz sagt im Wesentlichen, dass sich die Verteilung der Absolutwerte

${\displaystyle |\zeta ({\tfrac {1}{2}}+it)|}$

unter korrekter Normierung der Log-Normalverteilung annähert. Die stochastische Komponente kommt dabei von ${\displaystyle t}$, welches man aus einem beliebigen aber großen Interval unter der Gleichverteilung zieht. Verzichtet man auf die Betragsstriche, so nähert sich die Verteilung der komplexen Log-Normalverteilung.

Das Theorem wurde 1946 in etwas anderer Form von Atle Selberg bewiesen. Er bewies eine leicht stärkere Aussage für das ${\displaystyle k}$-te Moment von ${\displaystyle \operatorname {arg} \zeta ({\tfrac {1}{2}}+it)}$, welche das Theorem für das Argument impliziert.^[1][2] Die heutige Fassung stammt von Selberg und Tsang.^[3]

Die Aussage benötigt die riemannsche Vermutung nicht.

Notation:

• ${\displaystyle {\mathcal {CN}}(0,1)}$ ist die komplexe Standardnormalverteilung, das heißt ${\displaystyle {\mathcal {CN}}(0,1)={\mathcal {N}}(0,1)+i{\mathcal {N}}(0,1).}$
• ${\displaystyle \operatorname {Uni} ([T,2T])}$ ist die stetige Gleichverteilung auf ${\displaystyle [T,2T]}$.

Sei ${\displaystyle T>0}$ eine genügend große Zahl und ${\displaystyle t\sim \operatorname {Uni} ([T,2T])}$. Definiere ${\displaystyle \sigma :=\left({\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\log \log T}}\right)}$, dann konvergiert die Zufallsvariable ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sigma }}\log \zeta ({\tfrac {1}{2}}+it)}$ in Verteilung zu einer komplexen Normalverteilung.

In Formeln:

${\displaystyle {\frac {1}{\sigma }}\log \zeta ({\tfrac {1}{2}}+it)\xrightarrow {d} {\mathcal {CN}}(0,1),\quad T\to \infty .}$

Aus der Beziehung

${\displaystyle \log(s)=\log(|s|)+i\operatorname {arg} s}$

folgt insbesondere für den reellen Teil

${\displaystyle {\frac {1}{\sigma }}\log |\zeta ({\tfrac {1}{2}}+it)|\xrightarrow {d} {\mathcal {N}}(0,1)}$

und für den imaginären Teil

${\displaystyle {\frac {1}{\sigma }}\operatorname {arg} \zeta ({\tfrac {1}{2}}+it)\xrightarrow {d} {\mathcal {N}}(0,1).}$

Die Zufallsvariable ${\displaystyle |\zeta ({\tfrac {1}{2}}+it)|}$ nähert sich einer zentrierten Log-Normalverteilung mit ungefährer Log-Varianz

${\displaystyle \sigma ^{2}\approx \left({\tfrac {1}{2}}\log \log T\right).}$

Der Satz gilt auch für die Zufallsvariable

${\displaystyle {\frac {1}{\sigma }}S={\begin{cases}0&{\text{falls }}\zeta ({\tfrac {1}{2}}+it)=0,\\{\frac {1}{\sigma }}\log \zeta ({\tfrac {1}{2}}+it)&{\text{sonst}}.\end{cases}}}$

Selberg bewies für positive ganzzahlige ${\displaystyle k}$^[4]

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{T}^{2T}(\operatorname {arg} \zeta ({\tfrac {1}{2}}+it))^{2k}\mathrm {d} t=2^{-2k}{\binom {2k}{k}}k!(\log \log T)^{k}+{\mathcal {O}}\left((\log \log T)^{k-{\tfrac {1}{2}}}\right).}$

Der Fall ${\displaystyle \log |\zeta ({\tfrac {1}{2}}+it)|}$ wurde von Selberg auch untersucht und er lieferte eine Beweismöglichkeit, aber vollständig bewiesen wurde die Aussage für den Absolutwert erst 1984 durch Tsang.^[3]

Selberg erkannte, dass dies die Momente einer zentrierten gaußschen Zufallsvariable sind, und folgerte daraus

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\lambda {\big (}\left\{0\leq t\leq T:{\tfrac {1}{\sigma }}\log |\zeta ({\tfrac {1}{2}}+it)|\geq r\right\}{\big )}\sim {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{r}^{\infty }e^{\frac {-u^{2}}{2}}\mathrm {d} u}$

wobei ${\displaystyle \lambda }$ das Lebesgue-Maß bezeichnet.

• Maksym Radziwiłł und Kannan Soundararajan: Selberg's central limit theorem for ${\displaystyle \log |\zeta ({\tfrac {1}{2}}+it)|}$. Hrsg.: arXiv. 2015, doi:10.48550/ARXIV.1509.06827, arxiv:1509.06827 [abs]. 
• Ciprian Tudor: Multidimensional Selberg theorem and fluctuations of the zeta zeros via Malliavin calculus. Hrsg.: arXiv. 2016, doi:10.48550/ARXIV.1601.02515, arxiv:1601.02515 [abs]. 
• Patrick Kühn: On Selberg’s central limit theorem. Hrsg.: ETH Zürich. 2011 (researchgate.net – Masterarbeit). 
• Terence Tao: Selberg’s limit theorem for the Riemann zeta function on the critical line. 2009, abgerufen am 7. August 2022 (Blog Artkel). 

1. ↑ Atle Selberg: Contributions to the theory of the Riemann zeta-function. In: Arch. Math. Naturvid. Band 48, Nr. 5, 1946, S. 89–155. 
2. ↑ Ciprian Tudor: Multidimensional Selberg theorem and fluctuations of the zeta zeros via Malliavin calculus. Hrsg.: arXiv. 2016, doi:10.48550/ARXIV.1601.02515, arxiv:1601.02515 [abs]. 
3. ↑ ^{a b} Kai Man Tsang: The distribution of the values of the Riemann zeta-function. Hrsg.: Princeton University. Oktober 1984 (Doktorarbeit). 
4. ↑ Patrick Kühn: On Selberg’s central limit theorem. Hrsg.: ETH Zürich. 2011, S. 7 (researchgate.net – Masterarbeit).