Stieltjesscher Inhalt

Der Stieltjes’sche Inhalt, benannt nach dem Mathematiker Thomas Jean Stieltjes, ist ein Inhalt, mit dem man das Riemann-Integral zum Lebesgue-Stieltjes-Integral verallgemeinern kann.

Der Stieltjes’sche Inhalt wird auf dem Halbring ${\displaystyle {\mathcal {J}}:=\{]a,b]:a,b\in \mathbb {R} ,a\leq b\}}$ über ${\displaystyle \mathbb {R} }$ definiert. Da man Inhalte auf einem Halbring eindeutig auf ihrem erzeugten Ring fortsetzen kann, kann er auf der Menge

${\displaystyle {\mathcal {F}}:=\left\{\left.\bigcup _{j=1}^{n}I_{j}\,\right|\,I_{1},\dotsc ,I_{n}\in {\mathcal {J}},I_{j}\cap I_{k}=\emptyset {\text{ wenn }}j\neq k\right\}}$

betrachtet werden.

Ist ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ eine monoton wachsende Funktion, so nennt man den Inhalt

${\displaystyle \mu _{F}\colon {\mathcal {J}}\rightarrow \mathbb {R} ,\mu _{F}(]a,b]):=F(b)-F(a),(a\leq b)}$

den zu ${\displaystyle F}$ gehörenden Stieltjes’schen Inhalt. Er ist σ-endlich.

Ist ${\displaystyle \mu \colon {\mathcal {J}}\rightarrow \mathbb {R} }$ ein endlicher Inhalt und wird ${\displaystyle F:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ definiert durch

${\displaystyle F(x):={\begin{cases}\mu (]0,x]),&{\mbox{wenn }}x\geq 0\\-\mu (]x,0]),&{\mbox{wenn }}x<0\end{cases}}}$,

so ist ${\displaystyle F}$ eine monoton wachsende Funktion und es gilt ${\displaystyle \mu =\mu _{F}}$. Damit lässt sich also jeder endliche Inhalt auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ als Stieltjes’scher Inhalt darstellen.

Man ist oft daran interessiert, ob ein Inhalt σ-additiv ist, also

${\displaystyle \mu _{F}\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }I_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu _{F}(I_{i})}$

gilt, wenn die ${\displaystyle I_{i}}$ paarweise verschieden sind. σ-additive Inhalte sind nämlich Prämaße und lassen sich zu Maßen fortsetzen. Der Stieltjes’sche Inhalt ist genau dann ein Prämaß, wenn ${\displaystyle F}$ rechtsstetig ist. In diesem Fall nennt man ${\displaystyle \mu _{F}}$ das zu ${\displaystyle F}$ gehörige Lebesgue-Stieltjes’sche Prämaß. Als Spezialfall ergibt sich für ${\displaystyle F(x)=x}$ das Lebesguesche Prämaß. Hat man hingegen als Mengensystem den Halbring der links abgeschlossenen Intervalle gewählt, so ist ${\displaystyle \mu _{F}}$ ein Prämaß, genau dann wenn ${\displaystyle F}$ linksseitig stetig ist. Dieses Prämaß ist ebenfalls σ-endlich.

Mithilfe des Stieltjes’schen Inhalts kann man das Riemann-Integral zum Lebesgue-Stieltjes-Integral ${\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}g(x)\ \mathrm {d} F(x)}$ erweitern. Dazu verwendet man den Maßerweiterungssatz von Carathéodory, um aus dem Prämaß das Lebesgue-Stieltjes-Maß zu konstruieren. Die σ-Endlichkeit des Maßes liefert die Eindeutigkeit der Fortsetzung. Aus dem Maß lässt sich schließlich der neue Integralbegriff konstruieren.

• Wolfgang Walter: Analysis (= Grundwissen Mathematik. Band 4). Springer, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-12781-X. 
• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 4., korrigierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-21390-2, Kapitel II, § 2, S. 37.