In den mathematischen Teilgebieten der Kategorientheorie und der Abstrakten Algebra versteht man unter einem Subquotienten ein Quotientenobjekt eines Unterobjekts.
In der Sprache der Gruppentheorie ist ein Unterobjekt eine Untergruppe und ein Quotientenobjekt eine Quotientengruppe (auch Faktorgruppe genannt): Damit ist ein Subquotient einer Gruppe
isomorph zum Bild einer Untergruppe von
unter einem Gruppenhomomorphismus. Und wie beim Begriff der Untergruppe werden
selbst und die einelementige Gruppe
als triviale Subquotienten angesehen.
Der Begriff Subquotient findet Anwendung u. a. bei der Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen, insbesondere bei den sporadischen Gruppen.
Definition
Gruppentheorie
Ist
eine Gruppe,
eine Untergruppe von
und
ein Normalteiler von
, in Zeichen
![{\displaystyle G\geq G'\vartriangleright G'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3e500d36a4bbc755dc326c20ba40ec7c6f74fbf)
dann nennt man die Faktorgruppe (Quotientengruppe)
einen Subquotienten von
.
In der Literatur über sporadische Gruppen finden sich Formulierungen wie
involviert
[1]
ist involviert in
[2]
für denselben Sachverhalt.
Modultheorie
Sei
ein Ring mit Einselement. Bei den
-Moduln gibt es
-Untermoduln und
-Quotientenmoduln (Faktormoduln). Ganz analog wie bei den Gruppen sind die
-Subquotienten definiert.
Die Begriffsbildung gilt auch bei nicht-kommutativem Ring und links/rechts-seitigen Moduln über diesem Ring.
Eigenschaften und Beispiele
- Die einfache alternierende Gruppe
vom Grad 5 hat die nicht-einfache alternierende Gruppe
vom Grad 4 zum Subquotienten (zur Untergruppe). - Ein Unterobjekt von
wie auch ein (homomorphes) Bild von
ist ein Subquotient von ![{\displaystyle G.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc645a5b7e8a2022ad70fc42dbda04c008a33a9a)
- Die Faktoren einer Subnormalreihe sind Subquotienten.
- Das Schmetterlingslemma trifft eine Aussage über die Isomorphie gewisser Subquotienten.
Endliche Objekte
Haben alle Objekte endliche Kardinalitäten, dann gibt es Formeln, die diese mit Indices in Beziehung bringen, siehe zum Beispiel den Satz von Lagrange. Wegen
gilt mit obigen Bezeichnungen
![{\displaystyle |G|=[G:1]=[G:G']\cdot [G':G'']\cdot [G'':1]=[G:G']\cdot |H|\cdot |G''|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/302611e6717048e84db8c6419b7f15dcf7cdab8c)
und ist insbesondere
ein Teiler von
sowie
Halbordnung
Für endliche Objekte ist die Relation »ist Subquotient von« eine Ordnungsrelation, und zwar eine Halbordnung.
Reflexivität
ist Subquotient von
.
Sind zwei Objekte Subquotienten voneinander, so sind sie isomorph.
- Beweis
Die Wechselbeziehung zwischen
und
lässt sich wegen
, also
, nur aufrechterhalten mit
und
, woraus
folgt.
Subquotienten von Subquotienten sind Subquotienten.
- Beweis für Gruppen
Sei
Subquotient von
und
der kanonische Homomorphismus. Ist nun
also
Subquotient von
dann sind die durch senkrechte Pfeile (
) gekennzeichneten Abbildungen
![{\displaystyle G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b) | ![{\displaystyle \geq }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcef7c0e95bb77a35fd1a874ca91f425215f3c26) | ![{\displaystyle G'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76634fad5818a777669a77cd8c86d1d816e4c402) | ![{\displaystyle \geq }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcef7c0e95bb77a35fd1a874ca91f425215f3c26) | ![{\displaystyle \varphi ^{-1}(H')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05bb9679df63557dd17ce412bfe31527544c1ba8) | ![{\displaystyle \geq }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcef7c0e95bb77a35fd1a874ca91f425215f3c26) | ![{\displaystyle \varphi ^{-1}(H'')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abdbf35244e79141c39480bfd0c870686ef8c841) | ![{\displaystyle \vartriangleright }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0d20eca58300d3e12e1a099bd96e616d32bd426) | |
| ![{\displaystyle \varphi \!:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dff1165f3a61965dc4d8c380a2de6dfab0e528cb) | ![{\displaystyle {\Big \downarrow }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33194d9036970c4980c32f4293bec52fa4a3edc4) | | ![{\displaystyle {\Big \downarrow }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33194d9036970c4980c32f4293bec52fa4a3edc4) | | ![{\displaystyle {\Big \downarrow }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33194d9036970c4980c32f4293bec52fa4a3edc4) | | |
| | ![{\displaystyle H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b) | ![{\displaystyle \geq }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcef7c0e95bb77a35fd1a874ca91f425215f3c26) | ![{\displaystyle H'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/575e08b1574dc1c2bb8c5941a2a68d6daca7fd8e) | ![{\displaystyle \vartriangleright }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0d20eca58300d3e12e1a099bd96e616d32bd426) | ![{\displaystyle H''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddcdb42f04e20193efceffe1e6bfefc2835bbf54) | ![{\displaystyle \vartriangleright }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0d20eca58300d3e12e1a099bd96e616d32bd426) | |
surjektiv für jedes der Paare
| ![{\displaystyle (X,Y)\;\;\;\in }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c64ca7167bae328e705cea185f12418a3f82939) | ![{\displaystyle {\Bigl \{}{\bigl (}G',H{\bigr )}{\Bigr .}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dd95285ccdf11cabdddcf875f4d62be74c49eb2) | ![{\displaystyle ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8fa4cba3a446de313920e16251756e27312b825) | ![{\displaystyle {\bigl (}\varphi ^{-1}(H'),H'{\bigr )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcbb9137429b0e49759256b3fe725a7818d6971b) | ![{\displaystyle ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8fa4cba3a446de313920e16251756e27312b825) | ![{\displaystyle {\bigl (}\varphi ^{-1}(H''),H''{\bigr )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b7ce691f95bbbcc54784fbe66e1e6d8bdccdc18) | ![{\displaystyle ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8fa4cba3a446de313920e16251756e27312b825) | |
Nun sind die Urbilder
und
Untergruppen von
die
enthalten. Ferner ist
und
da alle
ein Urbild in
haben. Überdies ist
ein Normalteiler von
Damit ist der Subquotient
von
als
ein Subquotient von
[3]
Diskrete Ordnung
Die Ordnungsrelation »ist Subquotient von« ist bei endlichen Gruppen eine diskrete Ordnung, d. h. die von ihr erzeugte Ordnungstopologie ist eine diskrete Topologie. In Formeln und mit
und
als Relationszeichen:
- Ist
dann gibt es ein
mit
derart, dass ![{\displaystyle H\preceq H'\prec G\implies H'=H.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba4462f659af0ea2f827ea176ee2e1e325549f00)
Ein solches
nennt man einen maximalen echten Subquotienten von
. Der Begriff wird bspw. bei der Anordnung der sporadischen Gruppen im Hasse-Diagramm benötigt.
Einzelnachweise
- ↑ Dieter Held: Die Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen (PDF, 131 kB) S. 19 (Memento vom 26. Juni 2013 im Internet Archive)
- ↑ Robert Griess: The Friendly Giant. In: Inventiones Mathematicae. Band 69, 1982, S. 91, doi:10.1007/BF01389186 (Online bei digizeitschriften.de).
- ↑ Die Noether'schen Isomorphie-Sätze