Eine summierbare Familie ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis. Er dient der Verallgemeinerung des Reihenbegriffs für beliebige Familien in einem Vektorraum.
Sei
ein normierter Vektorraum. Sei
eine Indexmenge und
eine Familie. Sei
.
Die Familie
heißt summierbar zu
genau dann, wenn
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists E_{0}\subseteq _{\text{endlich}}I\;\forall E_{0}\subseteq E\subseteq _{\text{endlich}}I:\left\|{\hat {x}}-\sum _{i\in E}x_{i}\right\|<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f926cea686b03a9d69955eec966e403157e3a)
gilt. Wenn sich also zu jedem
eine endliche Teilmenge
finden lässt so, dass für alle endlichen Obermengen
, die in
liegen, die Summe
in der Norm von
weniger als
abweicht.
Ähnlich wie bei Reihen lässt sich auch absolute Summierbarkeit definieren. Die Familie
heißt absolut summierbar zu
genau dann, wenn
summierbar zu einem
ist.[1]
Letztlich heißt eine Familie Cauchy-summierbar genau dann, wenn
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists E_{0}\subseteq _{\text{endlich}}I\;\forall E\subseteq _{\text{endlich}}I\setminus E_{0}:\left\|\sum _{i\in E}x_{i}\right\|<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1eab6afeae726a01ae354aecc05d328b331501c)
gilt.[1]
Bemerkungen
- Absolute Summierbarkeit impliziert Summierbarkeit. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.
- Ist eine Familie summierbar, ist auch jede Teilfamilie summierbar. Summierbarkeit ist also ein stärkeres Kriterium als einfache Konvergenz von Reihen.
- Aus Summierbarkeit folgt Cauchy-Summierbarkeit. In Banachräumen gilt die Umkehrung. Cauchy-Summierbarkeit ist häufig einfacher zu prüfen.
- Sei
summierbar zu
und
summierbar zu
und
ein Skalar. Dann gilt
. - Der Träger einer summierbaren Familie ist höchstens abzählbar.
Einzelnachweise
- ↑ a b Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis. Oldenbourg, München 2011, ISBN 978-3-486-70530-0, S. 230.