Wannier-Darstellung

Dreidimensionales Modell der Wannier-Funktion von BaTiO3

Die nach dem Schweizer Physiker Gregory Hugh Wannier benannte Wannier-Darstellung ist ein Begriff aus der Festkörperphysik. In der Tight-Binding-Näherung ist eine Beschreibung der elektronischen Wellenfunktionen in der gitterperiodischen Bloch-Basis nicht mehr sinnvoll. Eher konstruiert man die Zustandsfunktion aus atomaren Wellenfunktionen. Diese sind nicht orthonormiert. Aus den Bloch-Funktionen lässt sich jedoch eine Orthonormalbasis lokalisierter Zustände konstruieren:

ω m n ( r → − R → m ) = 1 N ∑ k e − i k → R → m ⋅ ψ n k → ( r → ) {\displaystyle \omega _{mn}({\vec {r}}-{\vec {R}}_{m})={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{k}e^{-i{\vec {k}}{\vec {R}}_{m}}\cdot \psi _{n{\vec {k}}}({\vec {r}})}

Dabei ist

  • ψ n k → ( r → ) {\displaystyle \psi _{n{\vec {k}}}({\vec {r}})} eine Bloch-Funktion
  • ω i n ( r → − R → m ) {\displaystyle \omega _{in}({\vec {r}}-{\vec {R}}_{m})} der zugehörige Wannier-Zustand
  • e {\displaystyle e} die Eulersche Zahl
  • i {\displaystyle i} die imaginäre Einheit
  • k → {\displaystyle {\vec {k}}} der Wellenvektor
  • r → {\displaystyle {\vec {r}}} der Ortsvektor
  • n {\displaystyle n} der Bandindex.

Die umgekehrte Konstruktion der Bloch-Zustände aus den Wannier-Zuständen heißt dann

ψ n k → ( r → ) = 1 N ∑ R → m e i k → R → m ⋅ ω i n ( r → − R → m ) {\displaystyle \psi _{n{\vec {k}}}({\vec {r}})={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{{\vec {R}}_{m}}e^{i{\vec {k}}{\vec {R}}_{m}}\cdot \omega _{in}({\vec {r}}-{\vec {R}}_{m})}

Je größer die Gitterkonstante ist, desto stärker sind die Wannierzustände lokalisiert. Sie nähern sich immer mehr an die atomaren Zustände an. Statt aber den Wannier-Zustand einfach einem atomaren Zustand gleichzusetzen, nähert man ihn durch eine Linearkombination von atomaren Zuständen (LCAO):

ω i n ( r → − R → m ) = ∑ n ∈ U a n ⋅ φ n ( r → − R → m ) {\displaystyle \omega _{in}({\vec {r}}-{\vec {R}}_{m})=\sum _{n\in U}a_{n}\cdot \varphi _{n}({\vec {r}}-{\vec {R}}_{m})}

Die Menge U stellt dabei einen Unterraum der atomaren Zustände φ n ( r → − R → m ) {\displaystyle \varphi _{n}({\vec {r}}-{\vec {R}}_{m})} dar.

Literatur

  • Neil W. Ashcroft, N. David Mermin: Festkörperphysik. 2. Auflage. Oldenbourg, München 2005, ISBN 3-486-57720-4. 
  • Konrad Kopitzki: Einführung in die Festkörperphysik. 6. Auflage. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 3-8351-0144-7. 
  • Gerd Czycholl: Theoretische Festkörperphysik. 3. Auflage. Springer, Berlin 2008, ISBN 978-3-540-74789-5.